Question

20．如圖，矩形ABOE的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接CD，求四邊形CDBO的面積；
（3）AE與反比例函數(shù)交于點(diǎn)F，連接OF，△AOF是等腰三角形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）先求出OA，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）先求出OG，CG，BG，BD，利用三角形和梯形的面積之和即可得出結(jié)論；
（3）先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出OF，AF，OC，即可判斷△AOF不是等腰三角形．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2，
∴A（2$\sqrt{3}$，2），
∵C是OA的中點(diǎn)，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
（2）如圖1，

過點(diǎn)C作CG⊥OB，
∵C（$\sqrt{3}$，1），
∴G（$\sqrt{3}$，0），
∴OG=$\sqrt{3}$，CG=1，
將x=2$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得y=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$，BG=$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形CDBO}=S_△OCG+S_梯形BDCG=$\frac{1}{2}$OG•CG+$\frac{1}{2}$（CG+BD）•BG=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1+$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
（3）△AOF不是等腰三角形，
由題意知，E（0，2），
由（1）知反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
∴F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2），OF=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∵A（2$\sqrt{3}$，2），
∴AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵OC=4，
∴OF≠AF≠OC，
∴△AOF不是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了解直角三角形，待定系數(shù)法，幾何圖形的面積的求法，等腰三角形的判斷方法，解（1）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是作出輔助線將四邊形CDBO分割成直角三角形和梯形，解（3）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．