Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，點(diǎn)D在邊AC上，且CD=$\frac{7}{5}$cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，當(dāng)點(diǎn)P達(dá)到B點(diǎn)即停止運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（s），解答下列問題．

（1）M、N分別是DP、BP的中點(diǎn)，連接MN．
①分別求BC、MN的值；
②求在點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中線段MN所掃過區(qū)域的面積；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使BD平分∠CDP？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①在Rt△ABC中，根據(jù)BC=AB•cos∠ABC求出BC，再利用勾股定理求出BC，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD，利用三角形中位線定理求出MN即可；
②如圖2中，取BD中點(diǎn)G，連接MG，MN，易知四邊形MNBG是平行四邊形，觀察圖象可知，點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中線段MN所掃過區(qū)域的面積就是平行四邊形MNBG的面積；
（2）如圖3中，作BF⊥PD于F，作DE∥BF交CB于E，作PH⊥AC于H．首先證明EB=ED，設(shè)DE=EB=a，在Rt△CDE中，a²=（$\frac{24}{5}$-a）²+（$\frac{7}{5}$）²，可得a=$\frac{125}{48}$，推出CE=$\frac{24}{5}$-$\frac{125}{48}$=$\frac{527}{240}$，易證∠PDH=∠CED，△CED∽△HDP，可得$\frac{CD}{PH}$=$\frac{CE}{DH}$，可得$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{527}{240}}{5-\frac{4}{5}x}$，解方程即可；

解答 解：（1）①如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8cm，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•cos∠ABC=$\frac{24}{5}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，CD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵PN=NB，PM=MD，
∴MN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$．

②如圖2中，取BD中點(diǎn)G，連接MG，MN，易知四邊形MNBG是平行四邊形，

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時，AM=DM=$\frac{5}{2}$，BN=AN=4，BD=DG=$\frac{5}{2}$，
觀察圖象可知，點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中線段MN所掃過區(qū)域的面積就是平行四邊形MNBG的面積
=$\frac{1}{2}$S_△ABD=$\frac{1}{2}$（S_△ABC-S_△BCD）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$•\frac{24}{5}$•$\frac{32}{5}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{7}{5}$•$\frac{24}{5}$）=6．

（2）如圖3中，作BF⊥PD于F，作DE∥BF交CB于E，作PH⊥AC于H．

∵∠BDC=∠BDF，∠BDC+∠DBC=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠DBC=∠DBF，
∵DE∥BF，
∴∠EDB=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，設(shè)DE=EB=a，
在Rt△CDE中，a²=（$\frac{24}{5}$-a）²+（$\frac{7}{5}$）²，
∴a=$\frac{125}{48}$，
∴CE=$\frac{24}{5}$-$\frac{125}{48}$=$\frac{527}{240}$，
易證∠PDH=∠CED，△CED∽△HDP，
∴$\frac{CD}{PH}$=$\frac{CE}{DH}$，
∴$\frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{527}{240}}{5-\frac{4}{5}x}$，
解得x=$\frac{112}{39}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等、平行四邊形的判定和性質(zhì)知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．