Question

18．數(shù)學活動課上，老師給出如下問題：如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜邊上的高AC剪開，得到等腰直角三角形△ABC與△EFD，將△EFD的直角頂點在直線BC上平移，在平移的過程中，直線AC與直線DE交于點Q，讓同學們探究線段BQ與AD的數(shù)量關系和位置關系．
請你閱讀下面交流信息，解決所提出的問題．
展示交流：
小敏：滿足條件的圖形如圖甲所示圖形，延長BQ與AD交于點H．我們可以證明△BCQ≌△ACD，從而易得BQ=AD，BQ⊥AD．
小慧：根據(jù)圖甲，當點F在線段BC上時，我們可以驗證小敏的說法是正確的．但當點F在線段CB的延長線上（如圖乙）或線段CB的反向延長線上（如圖丙）時，我對小敏說法的正確性表示懷疑．
（1）請你幫助小慧進行分析，小敏的結論在圖乙、圖丙中是否成立？請說明理由．
（選擇圖乙或圖丙的一種情況說明即可）．
（2）小慧思考問題的方式中，蘊含的數(shù)學思想是分類討論思想．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結合全等三角形的判定與性質(zhì)得出BQ=AD，BQ⊥AD；
（2）利用已知條件分類得出，體現(xiàn)數(shù)學中的分類討論思想．

解答 解：（1）成立，
理由：如圖乙：由題意可得：∠FDE=∠QDC=∠ABC=∠BAC=45°，
則DC=QC，AC=BC，
在△ADC和△BQC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCQ}\\{DC=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BQC（SAS），
∴AD=BQ，∠DAC=∠QBC，
延長AD交BQ于點F，
則∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°，
∴AD⊥BQ；

（2）小慧思考問題的方式中，蘊含的數(shù)學思想是：分類討論思想；
故答案是：分類討論思想．

點評 此題主要考查了幾何變換綜合題，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．