Question

14．已知x₁，x₂是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的實數(shù)根（x₁，x₂可相等）
（1）證明方程的兩根都小于0；
（2）當實數(shù)k取何值時x₁²+x₂²最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，解此不等式得到-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，再由根與系數(shù)的關系得x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5，利用k的取值范圍有x₁+x₂=k-2＜0，x₁x₂=k²+3k+5＞0，于是利用有理數(shù)的性質即可判斷方程的兩根都小于0；
（2）利用完全平方公式得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-（k+5）²+19，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．

解答 （1）證明：∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，
∴-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
∵x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5，
∴x₁+x₂=k-2＜0，x₁x₂=k²+3k+5＞0，
∴方程的兩根都小于0；
（2）解：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19，
∵-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
∴k=-4時，x₁²+x₂²有最大值，最大值為-（-4+5）²+19=18．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．