Question

20．如圖（1），點(diǎn)O為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在線段AB的下方．
（1）將圖（1）中的直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使ON落在射線ON上（如圖（2）），則三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90度；
（2）繼續(xù)將圖（2）中的直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使ON在∠AOC的內(nèi)部（如圖（3））．試求∠AOM與∠NOC度數(shù)的差；
（3）若圖（1）中的直角三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中：
①當(dāng)直角邊OM所在直線恰好垂直于OC時(shí)，∠AOM的度數(shù)是150°或30°；
②設(shè)直角三角板繞點(diǎn)O按每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時(shí)，求三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角是∠MON；
（2）如圖3，利用平角的定義，結(jié)合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性質(zhì)、圖中角與角間的數(shù)量關(guān)系推知∠AOM-∠NOC=30°；
（3）需要分類討論：（�。┊�(dāng)直角邊ON在∠AOC外部時(shí)，旋轉(zhuǎn)角是60°；（ⅱ）當(dāng)直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，旋轉(zhuǎn)角是240°．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角∠MON=90°．
故答案是：90；

（2）如圖3，∠AOM-∠NOC=30°．
設(shè)∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得
∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得 α=60°．
即∠AOC=60°．
∴∠AON+∠NOC=60°．①
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°．②
 由②-①，得∠AOM-∠NOC=30°；
（3）①當(dāng)直角邊OM所在直線恰好垂直于OC時(shí)，∠AOM的度數(shù)是150°或30°；
故答案為：150°或30°；
②（�。┤鐖D4，當(dāng)直角邊ON在∠AOC外部時(shí)，
由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．
因此三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°．
此時(shí)三角板的運(yùn)動時(shí)間為：
t=60°÷15°=4（秒）．
（ⅱ）如圖5，當(dāng)直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，
由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．
因此三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°．
此時(shí)三角板的運(yùn)動時(shí)間為：
t=240°÷15°=16（秒）

點(diǎn)評 本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的計(jì)算．解答（3）題時(shí)，需要分類討論，以防漏解．