Question

1．在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，∠CDA=45°，E在AC上，連接BE交CD于F，滿足EF=EC，△CBF的面積為8，則CF=4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延長CD到G，使DG=CD，過B作BH⊥DG于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠G=∠ACD，S_△ACD=S_△BDG=S_△CBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到GH=FH，得到S_△BHG=S_△BFH，設(shè)△BDH的面積=x，△BFD的面積=y，
則△BHG的面積=x+y，列方程得到S_△BDH=4，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH=2$\sqrt{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：延長CD到G，使DG=CD，
過B作BH⊥DG于H，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴AD=DB，
在△ACD與△BGD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDG}\\{CD=DG}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BGD，
∴∠G=∠ACD，S_△ACD=S_△BDG=S_△CBD，
∵EF=EC，
∴∠CFE=∠ECF，
∵∠EFB=∠EFC，
∴∠G=∠BFD，
∴BG=BF，
∴GH=FH，
∴S_△BHG=S_△BFH，設(shè)△BDH的面積=x，△BFD的面積=y，
則△BHG的面積=x+y，
∴x+x+y=y+8，
∴x=4，
∴S_△BDH=4，
∵∠BDH=∠ADC=45°，
∴BH=DH，
∴BH=2$\sqrt{2}$，
∵△CBF的面積為8，
∴CF=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．