Question

6．已知拋物線y=x²-2mx+m+m²+2與x軸交于點(diǎn)（a，0）（b，0），則（a-1）²+（b-1）²最小值為18．

Answer 1

分析 令y=x²-2mx+m+m²+2=0，首先根據(jù)拋物線與x軸有交點(diǎn)求出m的取值范圍，然后把（a-1）²+（b-1）²轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出（a-1）²+（b-1）²最小值．

解答 解：令y=x²-2mx+m+m²+2=0，
∵拋物線與x軸有交點(diǎn)，
∴4m²-4m-4m²-8≥0，
∴m≤-2，
∴a+b=2m，ab=m+m²+2，
∴（a-1）²+（b-1）²
=a²-2a+1+b²-2b+1
=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2
=4m²-2m-2m²-4-4m+2
=2m²-6m-2
=2（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{2}$，
∵2＞0，m≤-2，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，有最小值為18，
故答案為18．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是把（a-1）²+（b-1）²轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，此題難度不大．