Question

20．數與數的關系有時真奇妙，例如，2+2=2×2，3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，即兩個數的和恰好等于它們的積．
（1）猜想：按此規(guī)律，第3個等式應該是：4+$\frac{4}{3}$=4×$\frac{4}{3}$；n個等式應該是：n+$\frac{n}{n-1}$=n×$\frac{n}{n-1}$；
（2）拓展：n能否改為其它實數呢？
當n=$\frac{1}{2}$時，上述等式為：$\frac{1}{2}$+（-1）=$\frac{1}{2}×（-1）$；當n=-2時，上述等式為：-2+$\frac{2}{3}$=（-2）×$\frac{2}{3}$；
（3）若設滿足該規(guī)律的兩數為a和b（ab≠0），試證明a、b滿足關系式．$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=1．

Answer 1

分析 （1）由已知易得整數與分數的分子分母的關系，根據規(guī)律寫出即可；
（2）根據（1）的規(guī)律易得當n=$\frac{1}{2}$時，分子為$\frac{1}{2}$，分母為$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，可得結果；當n=-2時，分子為-2，分母為-3，可得結果；
（3）由規(guī)律可得b=$\frac{a}{a-1}$，代入證明即可．

解答 （1）解：∵2+2=2×2，3+$\frac{3}{2}$=3×$\frac{3}{2}$，
∴第3個等式應該是：4+$\frac{4}{4-1}$=4$+\frac{4}{3}$=4×$\frac{4}{3}$；n個等式應該是：n+$\frac{n}{n-1}$=n×$\frac{n}{n-1}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$=4×$\frac{4}{3}$，$\frac{n}{n-1}$=n×$\frac{n}{n-1}$；

（2）解：由（1）的規(guī)律得：
當n=$\frac{1}{2}$時，分子為$\frac{1}{2}$，分母為$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，
∴等式為：$\frac{1}{2}+$（-1）=$\frac{1}{2}$×（-1）；
當n=-2時，分子為-2，分母為-3，
∴等式為：（-2）$+\frac{2}{3}$=（-2）×$\frac{2}{3}$；
故答案為：（-1）=$\frac{1}{2}×（-1）$，$\frac{2}{3}$=（-2）×$\frac{2}{3}$；

（3）證明：∵a，b是滿足規(guī)律的兩個數，
∴b=$\frac{a}{a-1}$，
∴$\frac{1}=\frac{a-1}{a}$，
∴$\frac{1}=1-\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}$=1．

點評 本題主要考查了數字的變化規(guī)律，根據已知分析得出規(guī)律是解答此題的關鍵．