Question

20．閱讀材料：
為解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我們可以將x²-1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x²-1=y…①，
那么原方程可化為y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4
當(dāng)y=1時(shí)，x²-1=1，∴x²=2，∴x=±$\sqrt{2}$
當(dāng)y=4時(shí)，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$
故原方程的解為x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$
上述解題過(guò)程中，將原方程中某個(gè)多項(xiàng)式視為整體，并用另一個(gè)未知數(shù)替換這個(gè)整體，從而把高次方程化為低次方程，實(shí)現(xiàn)降次的目的，這種解方程的方法稱為“換元法”
解答問(wèn)題：請(qǐng)用換元法解方程x²-2x+$\frac{21}{{x}^{2}-2x}$=10．

Answer 1

分析 設(shè)t=x²-2x，用t代替方程中的（x²-2x），然后解關(guān)于t的分式方程，然后再來(lái)求關(guān)于x的一元二次方程．

解答 解：設(shè)t=x²-2x，
依題意得：t+$\frac{21}{t}$=10，
t²-10t+21=0，
（t-3）（t-7）=0，
則t=3或t=7．
經(jīng)檢驗(yàn)，t=3或t=7都是所列方程的解．
①當(dāng)t=3時(shí)，x²-2x=3，
整理，得
（x+3）（x-1）=0，
解得x₁=-3，x₂=1；
②當(dāng)t=7時(shí)，x²-2x=7，
x²-2x-7=0．
解得x=$\frac{2±4\sqrt{2}}{2}$=1±2$\sqrt{2}$．
綜上所述，x₁=-3，x₂=1，x₃=1+2$\sqrt{2}$，x₄=1-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法解一元二次方程和分式方程，注意，解分式方程時(shí)要驗(yàn)根．