Question

16．如圖，已知∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在射線(xiàn)MO，ON上，BE是∠ABN的平分線(xiàn)，射線(xiàn)BE的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與∠BAO的角平分線(xiàn)AC相交于點(diǎn)C．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAO=70°時(shí)，∠ABC是多少度？
（2）當(dāng)點(diǎn)A，B分別在射線(xiàn)OM，ON上移動(dòng)時(shí)，試問(wèn)∠ACB的大小是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)；如果∠ACB的大小隨點(diǎn)A，B的移動(dòng)而發(fā)生變化，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得：$∠NBE=\frac{1}{2}$∠NBA，然后根據(jù)對(duì)頂角相等可得：∠CBO=∠NBE，然后由三角形內(nèi)角和定理可得：∠ABO=20°然后由三角形外角的性質(zhì)可得：∠NBA=∠MON+∠BAO=160°，進(jìn)而可得：∠CBO=∠NBE=$\frac{1}{2}$∠NBA=80°，然后由∠ABC=∠CBO+∠ABO即可求出答案；
（2）∠ACB的大小不隨點(diǎn)A，B的移動(dòng)而發(fā)生變化，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，∠ABN=∠OAB+∠MON，∠DBA=∠ACB+∠CAB，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義∠CAB=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABN，代入整理即可得到∠ACB=$\frac{1}{2}$∠MON=45°．

解答 解：（1）∵BE是∠ABN的平分線(xiàn)，
∴$∠NBE=\frac{1}{2}$∠NBA，
∵∠CBO=∠NBE，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}∠NBA$，
∵∠MON+∠BAO+∠ABO=180°，∠MON=90°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=20°，
∵∠NBA=∠MON+∠BAO=160°，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠NBA=80°，
∴∠ABC=∠CBO+∠ABO=80°+20°=100°；
（2）∠ACB的大小保持不變．理由：
∵∠ABN=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABN，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABN=$\frac{1}{2}$（90°+∠OAB）=45°+$\frac{1}{2}$∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠ACB+∠CAB，
∴∠ACB=45°，
故∠ACB的大小不發(fā)生變化，且始終保持45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，解答此題目要注意：
①求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件；
②三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來(lái)解決．