Question

20．如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°，下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． EF⊥AC
• B． AD=4AG
• C． 四邊形ADEF為菱形
• D． FH=$\frac{1}{4}$BD

Answer 1

分析 根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．

解答 解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故A正確；
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴HF=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB，AB=BD，
∴HF=$\frac{1}{4}$BD，故D說(shuō)法正確；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∵AE≠EF，
∴四邊形ADFE不是菱形；
故C說(shuō)法不正確；
∴AG=$\frac{1}{2}$AF，
∴AG=$\frac{1}{4}$AB，
∵AD=AB，
則AD=4AG，故B說(shuō)法正確，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題需先根據(jù)已知條件先判斷出一對(duì)全等三角形，然后按排除法來(lái)進(jìn)行選擇．