Question

9．如圖，在等邊△ABC中，P是BC下方一動點，且∠BPC=120°，PB、PC是關(guān)于x的方程（a-1）x²-9（a-1）x+b=c的兩實數(shù)根，求PA的長．

Answer 1

分析 延長BP到D，使得DP=PC，連接CD．由△DBC≌△PAC，可以推出PA=PB+PC，再利用根于系數(shù)關(guān)系即可解決問題．

解答 解：延長BP到D，使得DP=PC，連接CD．
∵∠BPC=120，
∴∠CPD=60．
又∵PC=PD，
∴△PCD是等邊三角形，
∴PC=CD，∠PCD=60°，
∴∠ACB+∠BCP=PCD+∠BCP，
即∠ACP=∠BCD．
∵等邊三角形ABC中，
∴BC=AC．
在△DBC和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠BCD=∠ACP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△PAC，
∴AP=BD．
∵BD=BP+DP，
∴AP=BP+DP，
∵DP=PC，
∴PA=PB+PC．
∵PB、PC是關(guān)于x的方程（a-1）x²-9（a-1）x+b=c的兩實數(shù)根，
∴PB+PC=9，
∴PA=9．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、根于系數(shù)關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，學會用轉(zhuǎn)化 的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．