Question

7．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在斜邊AC上，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)時(shí)：
①如圖1，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關(guān)系（無需證明）；
②如圖2，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，連接EF，判斷①中的結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)O不是AC中點(diǎn)時(shí)，如圖3，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點(diǎn)，若$\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{5}$，則$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）①猜想：AE²+CF²=EF²，連接OB，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；
②成立．連結(jié)OB，求出OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；
（2）過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，證△OME∽△ONF，推出$\frac{OM}{ON}=\frac{OE}{OF}$，證△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．

解答 解：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²，
連接OB，如圖1，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．
∴∠EOB=∠FOC，
在△OEB和△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；

②成立．
證明：連結(jié)OB．如圖2，
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC．
在△OEB和△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠EBO=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFC（ASA）．
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²；

（2）$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，如圖3，過點(diǎn)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{OE}{OF}$，
∵△AOM和△OCN為等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{AO}{OC}$，
∵$\frac{AO}{AC}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，
故答案為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何變換綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)定理，此題有一定的難度．