Question

8．如圖，兩個邊長為6的等邊三角形拼出四邊形ABCD，點E從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（α=∠BCD），得到對應(yīng)線段CF．當t=9時，DF的長度有最小值，最小值等于3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得；當點E運動至點E′時，由DF=BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

解答 解：∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠DCF=∠BCE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；
如圖1，

當點E運動至點E′時，DF=BE′，此時DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=$\sqrt{3}$，
∴設(shè)AE′=x，則BE′=$\sqrt{3}$x，
∴AB=2x=6，
則AE′=x=3
∴DE′=6+3，DF=BE′=3$\sqrt{3}$，
故答案為：9，3$\sqrt{3}$；

點評 此題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要考查等邊三角形的有關(guān)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握靈活運用是解題的關(guān)鍵．