Question

5．等邊△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，H，G分別為BD，CE的中點，P，F(xiàn)分別為DE，BC中點．
（1）如圖1，△AHG的形狀為等邊三角形，四邊形PHFG的形狀為菱形（直接寫結(jié)果）；
（2）將圖1中的△ADE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：四邊形PHFG是平行四邊形；
（3）當(dāng)圖1中的△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試判斷△AHG的形狀，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△AGH是等邊三角形，四邊形PHFG是菱形．只要證明AG=AH，即可證明△AGH是等邊三角形．只要證明PH=HF=FG=GP即可解決問題．
（2）連接BE．理由三角形中位線定理，證明FG∥PH，F(xiàn)G=PH即可．
（3）結(jié)論：△AGH是等邊三角形．先證明△CAE≌△BAD，再證明△GAE≌△HAD，推出∠GAE=∠HAD，推出∠GAH=∠EAD=60°即可解決問題．

解答 （1）解：結(jié)論：△AGH是等邊三角形，四邊形PHFG是菱形．
理由：如圖1中，連接BE、CD．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，AC=AB，
∵AE=EC，AD=DB，EG=GC，HD=HB，
∴AG=AH，CD、BE是等邊三角形的高，
∴△AGH是等邊三角形，CD=BE，
∵EP=PD，EG=GC，
∴GP=$\frac{1}{2}$CD，同理可證HF=$\frac{1}{2}$CD，PH=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BE，
∴PH=HF=FG=GP，
∴四邊形PHFG是菱形．
故答案為等邊三角形，菱形．

（2）證明：如圖2中，連接BE．

∵CG=GE，CF=FB，
∴FG∥EB，GF=$\frac{1}{2}$BE，
∵DP=PE，DH=HB，
∴PH∥BE，PH=$\frac{1}{2}$BE，
∴GF∥PH，GF=PH，
∴四邊形PHFG是平行四邊形．

（3）解：結(jié)論：△AGH是等邊三角形．
理由：如圖3中，

∵△ABC，△DAE是等邊三角形，
∴∠CAB=∠EAD=60°，CA=BA，EA=DA，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD，
∴EC=BD，
∵AG、AH分別是△ACE、△ABD的中線，
∴AG=AH，EG=DH，∵AE=AD，
∴△GAE≌△HAD，
∴∠GAE=∠HAD，
∴∠GAH=∠EAD=60°，
∴△AGH是等邊三角形．

點評 本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形的中位線定理，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．