Question

5．如圖，∠A=∠D=90°，CD平分∠ACB，AB與CD相交于點E．
（1）證明：BD²=DC•DE；
（2）當$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$時，①證明：BD=CE；②求tan∠DBE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質得到∠DBE=∠ACE，由角平分線的定義得到∠ACD=∠BCD，推出△BDE∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{BD}{DE}=\frac{CD}{BD}$，即可得到結論；
（2）延長CA交BD的延長線于M，于是得到△ACE∽△CDM，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BM}=\frac{1}{2}$，求得BM=2CE，通過△BCD≌△CDM，得到BD=DM，即可得到結論；
（3）設BD=CE=a，DE=b，由BD²=DE•DC，于是得到a²=b（a+b，解方程即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠A=∠D=90°，∠BED=∠AEC，
∴∠DBE=∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠BDE=∠BCD，
∴△BDE∽△BCD，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{CD}{BD}$，
∴BD²=CD•DE；
（2）延長CA交BD的延長線于M，
∴△ACE∽△CDM，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BM}=\frac{1}{2}$，
∴BM=2CE，
在△CDB與△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠MCD}\\{CD=CD}\\{∠BDC=∠MDC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CDM，
∴BD=DM，
∴BM=2BD，
∴BD=CE；
（3）設BD=CE=a，DE=b，
∵BD²=DE•DC，
∴a²=b（a+b），
∴a²-ab-b²=0，
∴b²+ab-a²=0，
∴（$\frac{a}$）²+$\frac{a}$-1=0，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴tan∠DBE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．