Question

20．長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（$\frac{1}{2}$＜a＜1），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．
（I）第二次操作時(shí)，剪下的正方形的邊長(zhǎng)為1-a；
（Ⅱ）當(dāng)n=3時(shí)，a的值為$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，矩形的長(zhǎng)為1，寬為a，所以第一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)為1-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）與（2a-1）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論．又因?yàn)榭梢赃M(jìn)行三次操作，故分兩種情況：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．對(duì)于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．

解答 解：由題意，可知當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a，寬為1-a，所以第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1．
故答案為：1-a；
此時(shí)，分兩種情況：
①如果1-a＞2a-1，即a＜$\frac{2}{3}$，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為2a-1．
∵經(jīng)過(guò)第三次操作后所得的矩形是正方形，
∴矩形的寬等于1-a，
即2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=$\frac{3}{5}$；
②如果1-a＜2a-1，即a＞$\frac{2}{3}$，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1-a．
則1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分兩種情況：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．分別求出操作后剩下的矩形的兩邊．