Question

13．如圖，某汽車的底盤所在直線恰好經(jīng)過兩輪胎的圓心，兩輪的半徑均為60cm，兩輪胎的圓心距為260cm（即PQ=260cm），前輪圓心P到汽車底盤最前端點M的距離為80cm，現(xiàn)汽車要駛過一個高為80cm的臺階（即OA=80cm），若直接行駛會“碰傷”汽車．

（1）為保證汽車前輪安全通過，小明準備建造一個斜坡AB （如圖所示），那么小明建造的斜坡的坡角α最大時，斜坡AB的長度是多少？
（2）在（1）的條件下，汽車能否安全通過此改造后的臺階（即汽車底盤不被臺階刮到）？并說明理由．（車尾不用考慮）

Answer 1

分析 （1）為了保證汽車安全通過的最大坡角，應(yīng)滿足當輪胎與地面BC、斜坡BA均相切，且汽車底盤前端點M恰在斜坡AB上，在Rt△PHM中，易知PH=60cm，PM=80cm，∠PMH=α，根據(jù)sinα的值求得α的值即可；
（2）分別求得ON和OC的長，然后比較大小即可確定能否通過．

解答 解：（1）如圖1，為了保證汽車安全通過的最大坡角，應(yīng)滿足當輪胎與地面BC、斜坡BA均相切，且汽車底盤前端點M恰在斜坡AB上，

在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80cm，∠PMH=α，
所以sin α=$\frac{PH}{PM}$=$\frac{60}{80}$=$\frac{3}{4}$，
所以α≈48.5°； 

（2）∵$\frac{320}{3}$＜260
∴當前輪安全通過臺階時，后輪仍在平地上
在Rt△AOB中，AB=AO÷sinα=$\frac{4}{3}$×80=$\frac{320}{3}$，
∴OB=$\sqrt{（\frac{320}{3}）^{2}-6400}$=$\frac{80\sqrt{7}}{3}$；
∴BN=BH=BM-MH=80-20$\sqrt{7}$
∴ON=80+$\frac{20\sqrt{7}}{3}$
如圖2，假設(shè)底盤與點A相碰，

∵△QAF∽△QPE
∴$\frac{QA}{PQ}$=$\frac{AF}{PE}$，
∴QA=65，
∴OC=FQ=$\sqrt{6{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15$\sqrt{17}$．
∵15$\sqrt{17}$＜80+$\frac{20\sqrt{7}}{3}$
∴此車可以安全通過．

點評 本題考查了坡度坡角問題，解決此類問題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的實際問題中整理出直角三角形并求解．