Question

2．如圖1和圖2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．過點A作AF⊥AE，過點C作CF∥AD，兩直線交于點F．
（1）在圖1中，證明：△ACF≌△ABE；
（2）在圖2中，∠ACB的平分線交AB于點M，交AD于點N．
①求證：四邊形ANCF是平行四邊形；
②求證：ME=MA；
③四邊形ANCF是不是菱形？若是，請證明；若不是，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明∠B=∠ACF，∠CAF=∠BAE，AB=AC，得到△ACF≌△ABE；
（2）①證明AF∥CN，AD∥FC，得到四邊形ANCF是平行四邊形；
②證明△ACM≌△ECM，得到AM=EM；
③證明FA≠FC，得到結(jié)論．

解答 證明：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAB=45°，
∵CF∥AD，
∴∠DAC=∠ACF=45°，
∴∠B=∠ACF=45°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∵∠EAF=∠EAC+∠CAF=90°，
∠BAC=∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠CAF=∠BAE，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠B}\\{∠CAF=∠BAE}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABE；
（2）①證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=45°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=22.5°，
∵△ACF≌△ABE；
∴∠BAE=∠CAF=22.5°，
∵∠ACB的平分線交AB于點M
∴∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°，
∵∠ACM=∠CAF=22.5°，
∴AF∥CN，
∵AD∥FC，
∴四邊形ANCF是平行四邊形；
②證明：∵∠BAC=90°，∠BAE=22.5°，
∴∠EAC=67.5°，
∵∠BCA=45°，
∴∠AEC=67.5°，
∵∠EAC=∠AEC=67.5°，
∴CA=CE，
∵∠ACB的平分線交AB于點M，
∴∠ACM=∠ECM，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CE}\\{∠ACM=∠ECM}\\{MC=MC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△ECM，
∴AM=EM，
③答：不是．
理由：∵∠CAF=22.5°，∠ACF=45°，
∴FA≠FC，
∴四邊形ANCF不是菱形．

點評 本題考查的是全等三角形的判定、平行四邊形的判定和菱形的判定，掌握各自的判定定理是解題的關(guān)鍵，等腰直角三角形的兩底角相等且都是45°．