Question

11．如圖，已知△ABC中，AB=AC=18cm，∠B=∠C，BC=12cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，經(jīng)過t秒后，△BPD與△CQP全等，求此時點Q的運動速度與運動時間t．
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，則經(jīng)過24后，點P與點Q第一次在△ABC的AC邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)時間和速度分別求得兩個三角形中BP、CQ和BD、PC邊的長，根據(jù)SAS判定兩個三角形全等．
②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；
（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點P多走等腰三角形的兩個邊長．

解答 解：（1）①全等，理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=1×1=1厘米，
∵AB=6cm，點D為AB的中點，
∴BD=3cm．
又∵PC=BC-BP，BC=4cm，
∴PC=4-1=3cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP；

②假設(shè)△BPD≌△CQP，
∵v_P≠v_Q，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，則BP=CP=2，BD=CQ=3，
∴點P，點Q運動的時間t=$\frac{BP}{1}$=2秒，
∴v_Q=$\frac{CQ}{t}$=$\frac{3}{2}$=1.5cm/s；

（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，
由題意，得 1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∴點P共運動了24s×1cm/s=24cm．
∵24=2×12，
∴點P、點Q在AC邊上相遇，
∴經(jīng)過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇．
故答案為：24，AC．

點評 此題主要是運用了路程=速度×?xí)r間的公式．熟練運用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系．