Question

11．如圖，等邊△AOB中點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，2），小明做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在x軸上取一動(dòng)點(diǎn)C，以AC為一邊畫(huà)出等邊△ACP，移動(dòng)點(diǎn)C時(shí)，探究點(diǎn)P的位置變化情況．
（1）如圖，小明將點(diǎn)C移至x軸負(fù)半軸，在AC的右側(cè)畫(huà)出等邊△ACP，并使得頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)，連接BP，求證：△AOC≌△ABP；
（2）小明在x軸上移動(dòng)點(diǎn)C，并在AC的右側(cè)畫(huà)出等邊△ACP時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在某函數(shù)圖象上，請(qǐng)求出點(diǎn)P所在函數(shù)圖象的解析式．
（3）小明在x軸上移動(dòng)點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)，若在AC的左側(cè)畫(huà)出等邊△ACP，點(diǎn)P會(huì)不會(huì)在某函數(shù)圖象上？若會(huì)在某函數(shù)圖象上，請(qǐng)直接寫(xiě)出該函數(shù)圖象的解析式，若不在某函數(shù)圖象上，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS根據(jù)解決問(wèn)題．
（2）首先證明點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A且與AB垂直的直線上，求出特殊點(diǎn)（P在y軸上的點(diǎn)），利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（3）如圖作B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，OB′．由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直線P′B′的解析式為t=-$\sqrt{3}$x-4．

解答 （1）證明：如圖，

∵△AOB與△ACP都是等邊三角形，
∴OA=AB，A=AP，CAP=∠OAB=60°．
∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．
∴∠CAO=∠PAB．
在△AOC與△PAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠CAO=∠PAB}\\{AC=AP}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABP．

（2）解：由（1）可知，△AOC≌△ABP，
∴∠COA=∠PBA=90°，
∴點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，
在等邊△AOB中，B（2$\sqrt{3}$，2），
∴AB=4，
當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)，使得P在y軸上時(shí)，
∵△PAB是直角三角形，∠PAB=60°，
∴PA=$\frac{AB}{cos60°}$=8，
∴P（0，-4），
設(shè)直線PB的解析式為y=kx-4，把B（2$\sqrt{3}$，2）代入得到k=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)P所在函數(shù)圖象的解析式為y=$\sqrt{3}$x-4．

（3）會(huì)在函數(shù)的圖象上，如圖作B的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，OB′．

由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直線P′B′的解析式為t=-$\sqrt{3}$x-4．
∴該函數(shù)圖象的解析式為y=-$\sqrt{3}$x-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，其中全等三角形，熟練正確待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，屬于中考?jí)狠S題．