Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC，過(guò)A，C，D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：AC=AE；  
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD的外接圓的直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、圓周角、弧、弦之間的關(guān)系得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，設(shè)CD=DE=x，根據(jù)勾股定理列出方程，求出x，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{ED}$，
∴CD=ED
∵∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直徑，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AE}$，
∴AC=AE；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
BE=10-AE=10-6=4，
設(shè)CD=DE=x，
BD=8-x，
在Rt△BDE中．BD²=DE²+BE²
（8-x）²+x²=4²
x=3，即BD=3，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．