Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），△AOB為等邊三角形，M是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），以線段AM為一邊在其右側(cè)作等邊三角形△AMN．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，∠ABN的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大�。蝗绺淖�，請(qǐng)說明理由．
（3）連接ON，當(dāng)ON∥AB時(shí)，求M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥x軸于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BOH=30°，解直角三角形求出BH、OH，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）證明△MAO≌△NAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABN=∠AOM=90°；
（3）作NH⊥x軸于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）作BH⊥x軸于H，
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠BOH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$OB=2，OH=OB×cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，3）；

（2）∠ABN=90°，則∠ABN的大小不變，
∵△AOB、△AMN為等邊三角形，
∴∠MAO=∠NAB，
在△MAO和△NAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠MAO=∠NAB}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△MAO≌△NAB，
∴∠ABN=∠AOM=90°，
則∠ABN=90°，則∠ABN的大小不變；

（3）作NH⊥x軸于H，
∵ON∥AB，
∴∠ONB=∠ABN=90°，
∵∠ABN=90°，∠ABO=60°，
∴∠OBN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB=2，BN=2$\sqrt{3}$，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}+B{N}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴MN=AN=$\sqrt{7}$，
∵∠HON=30°，
NH=$\frac{1}{2}$ON=1，OH=$\sqrt{3}$，
∴MH=$\sqrt{M{N}^{2}-N{H}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴OM=2$\sqrt{3}$，
∴M的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．