Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交切線BD于D，交AB于F．
（1）求證：BC=BD．
（2）若BE=16，CE=12，試求tanD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得BD⊥AB，而CE⊥AB，則判斷CE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠D=∠ECD，由于∠CED=∠BCD，則∠D=∠BCD，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到BC=BD；
（2）先在Rt△BCE中，利用勾股定理計(jì)算出BC=20，則BD=20，再證明△BDF∽△ECF，根據(jù)相似的性質(zhì)得到$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BD}{CE}$=$\frac{5}{3}$，則BF=$\frac{5}{8}$BE=10，然后在Rt△BDF中利用正切的定義求解．

解答 （1）證明：∵BD為⊙O的切線，
∴BD⊥AB，
而CE⊥AB，
∴CE∥BD，
∴∠D=∠ECD，
∵CD平分∠ECB，
∴∠CED=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴BC=BD；
（2）解：在Rt△BCE中，∵BE=16，CE=12，
∴BC=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
∴BD=20，
∵CE∥BD，
∴△BDF∽△ECF，
∴$\frac{BF}{EF}$=$\frac{BD}{CE}$=$\frac{20}{12}$=$\frac{5}{3}$，
∴BF=$\frac{5}{8}$BE=$\frac{5}{8}$×16=10，
在Rt△BDF中，tanD=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．