Question

4．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，M為AB的中點，聯(lián)結DE、DM．
（1）當∠C=70°時（如圖），求∠EDM的度數(shù)；
（2）當△ABC是鈍角三角形時，請畫出相應的圖形；設∠C=α，用α表示∠EDM（可直接寫出）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質可得∠ABC=70°，D為BC的中點，進而利用直角三角形斜邊上的中線的性質得到DE=DC，并利用等腰三角形的性質與三角形內(nèi)角和定理求出∠EDC的度數(shù)，然后利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等腰三角形的性質可求出∠MDB的度數(shù)，再利用平角的定義可求出∠EDM的度數(shù)；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，利用直角三角形斜邊上的中線的性質可以得到ED=DC，MD=BM，然后利用等腰三角形的性質可得∠DEC=∠C=α，∠MBD=∠MDB=α，進而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EDC=180°-2α，再利用平角的定義求解即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，
∴D為BC中點，∠ABC=∠C=70°，
∵BE⊥AC，∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠C=70°，
∴∠EDC=180°-2×70°=40°，
∵AD⊥BC，M為AC的中點，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=BM，
∴∠MDB=∠ABC=70°，
∴∠EDM=180°-∠EDC-∠BDM=70°；
（2）如圖，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中點，
又∵BE⊥AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠C=α，
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
又∵M是AB的中點，AD⊥BC，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=BM，
∴∠MBD=∠MDB=α，
∴∠EDM=180°-∠MDB-∠EDC=α．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握并能靈活運用相關的各個定理與性質是解答本題的關鍵．