Question

13．”雙十一“淘寶網(wǎng)銷售一款工藝品，每件的成本是50元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．設(shè)當(dāng)銷售單價(jià)為x元，每天的銷售利潤(rùn)為y元．
（1）求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）如果每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，那么每天的總成本至少需要5000元？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（3）把y=4000代入函數(shù)解析式，求得相應(yīng)的x值，求出此時(shí)的成本即可確定每天的總成本至少需要多少元．

解答 解：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x²+800x-27500，
∴y=-5x²+800x-27500（50≤x≤100）；
（2）y=-5x²+800x-27500=-5（x-80）²+4500，
∵a=-5＜0，
∴拋物線開口向下．
∵50≤x≤100，對(duì)稱軸是直線x=80，
∴當(dāng)x=80時(shí)，y_最大值=4500；
（3）當(dāng)y=4000時(shí)，-5（x-80）²+4500=4000，
解得x₁=70，x₂=90．
∴當(dāng)70≤x≤90時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，
當(dāng)x=70時(shí)，總成本為：50×（-5×70+550）=10000，
當(dāng)x=90時(shí)，總成本為：50×（-5×90+550）=5000，
所以如果每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，那么每天的總成本至少需要5000元．
故答案為：5000．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．建立數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式和方程．