Question

7．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則內(nèi)心I與重心G之間的距離IG=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造如圖所示的坐標系，從而可求得點M，N的坐標，然后求得直線CN與BM的解析式，從而可解得點G的坐標，然后三角形的內(nèi)圓的性質(zhì)求得點I的坐標，最后利用兩點之間的距離公式可求得IG的長度．

解答 解：構(gòu)造如圖所示的平面直角坐標系．

∵BM、CN是三角形的中線，
∴點M的坐標的為（2，0），點N的坐標為（2，1.5）．
∴直線CN的解析式為y=$\frac{4}{3}x$，直線MB的解析式為y=$-\frac{2}{3}x+2$．
將y=$\frac{4}{3}x$與y=$-\frac{2}{3}x+2$聯(lián)立．
解得：x=1，y=$\frac{4}{3}$．
∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
設圓I的半徑為r．則$\frac{1}{2}×（3+4+5）r$=$\frac{1}{2}×3×4$．
解得r=1．
∴點I的坐標為（1，1）．
∴GI=$\frac{4}{3}-1$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心和重心，一次函數(shù)的解析式、解二元一次方程組，根據(jù)題意構(gòu)造如圖所示的坐標系是解題的關鍵．