Question

7．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，點(diǎn)D在BC邊上，且AD⊥AC，求證：CD=2AB．

Answer 1

分析 取CD的中點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=CE=$\frac{1}{2}$CD，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠C=∠CAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AEB=2∠C=∠B，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AE=AB，即可得證．

解答 證明：如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，
∵AD⊥AC，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠C=∠CAE，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴AE=AB，
∴AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=2AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線利用性質(zhì)并構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．