Question

19．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2，內(nèi)心O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上．若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0），則k的值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 AC與y軸交于D，如圖，連結(jié)OC，根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)得BD平分∠ABC，OC平分∠ACB，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，∠OCD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，接著在Rt△ODC中利用三角函數(shù)可計(jì)算出OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求k的值．

解答 解：AC與y軸交于D，如圖，連結(jié)OC，
∵點(diǎn)O△ABC的內(nèi)心，
∴BD平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，∠OCD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
在Rt△ODC中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{CD}$，
∴OD=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．