Question

19．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在直線BC上，連接AE．將△ABE沿AE所在直線折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，連接AB′并延長(zhǎng)交直線DC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明）；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖（3），線段DF、BE、AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

分析 （1）由折疊可得AB=AB′，BE=B′E，再根據(jù)四邊形ABCD是正方形，易證B′E=B′F，即可證明DF+BE=AF；
（2）圖（2）的結(jié)論：DF+BE=AF；圖（3）的結(jié)論：BE-DF=AF；證明圖（2）：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，需證△ABE≌△ADG，
根據(jù)CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，則∠GAF=∠DAE，則∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．

解答 解：（1）由折疊可得AB=AB′，BE=B′E，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC=DF，∠B′CE=45°，
∴B′E=B′F，
∴AF=AB′+B′F，
即DF+BE=AF；

（2）圖（2）的結(jié)論：DF+BE=AF；
圖（3）的結(jié)論：BE-DF=AF；
圖（2）的證明：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，
需證△ABE≌△ADG，
∵CB∥AD，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠BAE=∠B′AE，
∴∠B′AE=∠DAG，
∴∠GAF=∠DAE，
∴∠AGD=∠GAF，
∴GF=AF，
∴BE+DF=AF；
圖（3）的證明：在BC上取點(diǎn)M，使BM=DF，連接AM，
需證△ABM≌△ADF，
∵∠BAM=∠FAD，AF=AM
∵△ABE≌AB′E
∴∠BAE=∠EAB′，
∴∠MAE=∠DAE，
∵AD∥BE，
∴∠AEM=∠DAB，
∴∠MAE=∠AEM，
∴ME=MA=AF，
∴BE-DF=AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及翻折變換，是一道綜合型的題目，難度不大，而證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．