Question

已知函數(shù).

（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍；

（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）由得，因在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù).

所以在上最大值大于0，最小值小于0,

,

，.

(2)由，得,

，且等號(hào)不能同時(shí)取，，即.

恒成立，即.

令，求導(dǎo)得,

當(dāng)時(shí)，，從而.

在上是增函數(shù)，.

.

(3)由條件，,

假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè),

不妨設(shè)，則，且,

是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，,

    

是否存在等價(jià)于方程在且是否有解.

①當(dāng)時(shí)，方程為，化簡(jiǎn)，此方程無(wú)解；

②當(dāng)時(shí)，方程為，即

設(shè)，則,

顯然，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù).

的值域?yàn)椋�即，�?dāng)時(shí)，方程總有解.

對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上.