Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由（1）得，，的坐標(biāo)，得到的外接圓的圓心一定在軸上，設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)及兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程，解得，從而確定圓心坐標(biāo)和半徑，即可求解.

（1）因為橢圓的離心率為，所以. ①

又橢圓過點(diǎn)，所以代入得. ②

又， ③

由①②③，解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）得，，的坐標(biāo)分別是，

因為的外接圓的圓心一定在邊的垂直平分線上，

即的外接圓的圓心一定在軸上，

所以可設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標(biāo)為，

則由及兩點(diǎn)間的距離公式，得，

即，化簡得，解得，

所以圓心的坐標(biāo)為，半徑，

所以的外接圓的方程為，即.