Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．若，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)不在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，試求三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由題意b=2，c=2，所以，橢圓C的方程為。

(2)設(shè)A、B、P的坐標(biāo)分別為。

由知，。

又點(diǎn)A在橢圓C上，則

，

整理得。

由，同理得到

。

由于A、B不重合，即，故m、n是二次方程

的兩根，所以m+n=-4，為定值。

（3）依題意，直線(xiàn)l的方程為，即，與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y并整理，得

，

，

所以，而

。

由已知，點(diǎn)P不在橢圓C的內(nèi)部，得，即，所以的最小值為，故三角形QAB面積的最小值為。