Question

【題目】已知函數，.

（1）若在處的切線的方程為，求，的值并求此時的最值；

（2）在（1）的條件下，不等式在時恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，，無最大值；（2）

【解析】

（1）利用導數的幾何意義和點斜式，即可求出切線方程，進而求出，即可，再利用導數求出函數的單調性，進而求出函數的最值．

（2）由，方法一：對和兩種情況進行討論，其中當時，令，利用導數在函數最值中的應用，求解即可；方法二：采用分離參數法，利用極限思想解題即可；方法三：，對進行分類討論，利用導數在函數單調性和最值中的應用解題即可.

解：（1），令得：，由題意：，

∴，

∴，

由得：, 由得：

∴在上單調遞減；在上單調遞增

∴，無最大值；

（2）

法一：①當時，，

②當時：

令，則

∵∴

（i）若，則 在上單調遞增， 合題意；

（ii）若，令得：，由得：，所以在上單調遞減

∴，這與恒成立矛盾，所以不合題意；

綜上的取值范圍是

法二：①當時，

②當時：

令，則，令，則

所以在單調遞增，∴，即，∴在上單調遞增

又

∴，若使恒成立，只需

∴的取值范圍是

（說明：①無論法一還是法二，若考生不對進行討論而得到，均需扣1分；②若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用羅比塔法則，可根據答題情況酌情扣1-2分）

法三：

令，則，令，則

顯然在上單調遞增，∴

（i）當即時，恒成立

∴在上單調遞增

∴即

∴在上單調遞增

∴恒成立，即合題意；

（ii）當即時，，

∴存在唯一使，當時，，∴在上單調遞減，

∴，即

所以在上單調遞減，所以，這與在時恒成立矛盾，所以不合題意；

綜上：的取值范圍是