13. 
的展開式中
的系數(shù)為 6
。
解：
，只需求
展開式中的含
項的系數(shù)：
(17)(本小題滿分10分)
已知等差數(shù)列{
}中，
求{}前n項和
. 
解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運用能力，利用方程的思想可求解。
解：設(shè)
的公差為
，則
即
解得
因此
(18)(本小題滿分12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，
,
，求B.
解析：本題考查三角函數(shù)化簡及解三角形的能力，關(guān)鍵是注意角的范圍對角的三角函數(shù)值的制約，并利用正弦定理得到sinB=
(負值舍掉)，從而求出B=
。
解：由 cos(A
C)+cosB=
及B=π(A+C)得
cos(AC)cos(A+C)=
，
cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,
sinAsinC=
.
又由
=ac及正弦定理得
故 
，
或 
(舍去)，
于是 B=
或 B=
.
又由 
知
或
所以 B=。
(19)(本小題滿分12分)
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1
(Ⅰ)證明：AB=AC
(Ⅱ)設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小
解析：本題考查線面垂直證明線面夾角的求法，第一問可取BC中點F，通過證明AF⊥平面BCC1,再證AF為BC的垂直平分線，第二問先作出線面夾角，即證四邊形AFED是正方形可證平面DEF⊥平面BDC，從而找到線面夾角求解。此題兩問也可建立空間直角坐標系利用向量法求解。
解法一：(Ⅰ)取BC中點F，連接EF，則EF
，從而EFDA。
連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF//DE。又DE⊥平面
，故AF⊥平面，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。
(Ⅱ)作AG⊥BD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，∠AGC=600..
設(shè)AC=2，則AG=
。又AB=2，BC=
，故AF=
。
由
得2AD=
，解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形。
因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
連接AE、DF，設(shè)AE∩DF=H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
連接CH，則∠ECH為
與平面BCD所成的角。
因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC=
=2，
所以∠ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.
解法二：
(Ⅰ)以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz。
設(shè)B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，則
(1，0，2c),E(，
，c).
于是
=(，，0)，
=(-1，b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC，
=0，求得b=1，所以 AB=AC。
(Ⅱ)設(shè)平面BCD的法向量
則
又=(-1，1， 0)，
=(-1，0，c),故
令x=1, 則y=1, z=
,
=(1,1, ).
又平面
的法向量
=(0，1，0)
由二面角
為60°知，
=60°，
故 
°，求得
于是 
， 
，
°
所以
與平面
所成的角為30°
(20)(本小題滿分12分)
某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有10名工人，其中有6名女工人。現(xiàn)采用分層抽樣(層內(nèi)采用不放回簡單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術(shù)考核。
(Ⅰ)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；
(Ⅱ)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率�！�
解析：本題考查概率統(tǒng)計知識，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問直接利用分層統(tǒng)計原理即可得人數(shù)，第二問注意要用組合公式得出概率，第三問關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率。
解：(I)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人。
(II)記
表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則
(III)
表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有
名男工人，
表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有
名男工人，
表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
與
獨立，
，且
故 
(21)(本小題滿分12分)
|
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍�！�
解析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。
解： (I)
由
知，當
時，
，故
在區(qū)間
是增函數(shù)；
當
時，
，故在區(qū)間
是減函數(shù)；
當
時，，故在區(qū)間
是增函數(shù)。
綜上，當時，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。
(II)由(I)知，當
時，在
或
處取得最小值。
由假設(shè)知
即
解得 1<a<6
故
的取值范圍是(1，6)
(22)(本小題滿分12分)
|
|
(Ⅰ)求a,b的值；
(Ⅱ)C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有
成立？
若存在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。
解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運用能力，第一問直接運用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。
解：(Ⅰ)設(shè)
當
的斜率為1時，其方程為
到的距離為
故 
， 
由
得
，
=
(Ⅱ)C上存在點
，使得當繞
轉(zhuǎn)到某一位置時，有
成立。
由 (Ⅰ)知C的方程為
+
=6. 設(shè)
(ⅰ) 
C 
成立的充要條件是
， 且
整理得 
故 
�、�
將 
于是 
, 
=
,
代入①解得，
，此時
于是
=
， 即
因此， 當
時，
， 
；
當
時，
， 
。
(ⅱ)當垂直于
軸時，由
知，C上不存在點P使成立。
綜上，C上存在點
使成立，此時的方程為
(13)設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為。若
，則
=
×
答案：3
解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運算，由得q3=3故a4=a1q3=3。
(14)
的展開式中
的系數(shù)為 ×
答案：6
解析：本題考查二項展開式，直接用公式展開，注意根式的化簡。
(15)已知圓O：
和點A(1，2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于 ×
答案： 
解析：由題意可直接求出切線方程為y-2=
(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標軸上的截距分別是5和
，所以所求面積為
。
(16)設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于
，則球O的表面積等于 ×
答案：8π
解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運算，由
(1)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，則Cu( M
N)=
(A) {5，7} (B) {2，4} (C){2.4.8} (D){1，3，5，6，7}
答案：C
解析：本題考查集合運算能力。
(2)函數(shù)y=
(x
0)的反函數(shù)是
(A)
(x
0)
(B)
(x0)
(B)(x
0)
(D)(x0)
答案：B
解析：本題考查反函數(shù)概念及求法，由原函數(shù)x0可知AC錯,原函數(shù)y0可知D錯，選B.
(3) 函數(shù)y=
的圖像
(A) 關(guān)于原點對稱
(B)關(guān)于主線
對稱
(C) 關(guān)于
軸對稱
(D)關(guān)于直線
對稱
答案：A
解析：本題考查對數(shù)函數(shù)及對稱知識，由于定義域為(-2，2)關(guān)于原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，選A。
(4)已知△ABC中，
，則
(A) 
(B)
(C)
(D) 
答案：D
解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由cotA=
知A為鈍角，cosA<0排除A和B，再由
選D
(5) 已知正四棱柱
中，
=
，
為重點，則異面直線
與
所形成角的余弦值為
(A)
(B) 
(C)
(D) 
答案：C
解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA'
,因此求△EBA'中∠A'BE即可，易知EB=,A'E=1,A'B=
,故由余弦定理求cos∠A'BE=，或由向量法可求。
(6) 已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= 
，則︱b ︱=
(A)
(B)
(C)5 (D)25
答案：C
解析：本題考查平面向量數(shù)量積運算和性質(zhì)，由
知(a+b)2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 選C。
(7)設(shè)
則
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：B
解析：本題考查對數(shù)函數(shù)的增減性，由1>lge>0,知a>b,又c=
lge, 作商比較知c>b,選B。
(8)雙曲線
的漸近線與圓
相切，則r=
(A)
(B)2 (C)3 (D)6
答案：A
解析：本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識，由圓心到漸近線的距離等于r，可求r=
(9)若將函數(shù)
的圖像向右平移
個單位長度后，與函數(shù)
的圖像重合，則
的最小值為
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：D
解析：本題考查正切函數(shù)圖像及圖像平移，由平移及周期性得出ωmin=
(10)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有
(A)6種 (B)12種 (C)24種 (D)30種
答案：C
解析：本題考查分類與分步原理及組合公式的運用，可先求出所有兩人各選修2門的種數(shù)
=36，再求出兩人所選兩門都相同和都不同的種數(shù)均為
=6，故只恰好有1門相同的選法有24種
。
(11)已知直線
與拋物線C:
相交A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若
,則k=
(A) (B)
(C)
(D)
答案：D
解析：本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點(2，0)，由
及第二定義知
聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=
。
(12)紙質(zhì)的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北�，F(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標“△”的面的方位是
(A)南 (B)北 (C)西 (D)下
答案：B
解析：.此題用還原立體圖方法直接得出結(jié)果，使上在正上方依次找到對應(yīng)面即可。
第Ⅱ卷(非選擇題)
本卷共10小題，共90分。
(17)(本小題滿分10分)(注意:在試題卷上作答無效)
設(shè)等差數(shù)列{
}的前
項和為
，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{
}的前項和為
，
已知
的通項公式.
[解析]本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前
項和，基礎(chǔ)題。
解：設(shè)
的公差為
，數(shù)列
的公比為
，由題得
解得
∴
。
(18)(本小題滿分12分)(注意：在試用題卷上作答無效)
在
中，內(nèi)角A、b、c的對邊長分別為a、b、c.已知
，且
，求b.
[解析]本小題考查正弦定理、余弦定理。
解：由余弦定理得
，
∵
，
∴
，即
。
由正弦定理及得
，
∴
，即
。
(19)(本小題滿分12分)(注決：在試題卷上作答無效)
如圖，四棱錐
中，底面
為矩形，
底面，
，
，點
在側(cè)棱
上，
�！ �
(I)證明：是側(cè)棱的中點；
求二面角
的大小。(同理18)
[解析]本小題考查空間里的線線關(guān)系、二面角，綜合題。
(I)解法一：作
∥
交
于N，作
交
于E，
連ME、NB，則
面，
,
設(shè)
，則
,
在
中，
。
在
中由
解得
，從而
M為側(cè)棱的中點M.
解法二:過作的平行線.
(II)分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。
過作
∥交于
,作
交
于
,作
交
于
,則
∥,
面
,面
面
,
面
即為所求二面角的補角.
法二：利用二面角的定義。在等邊三角形
中過點
作
交于點
，則點為AM的中點，取SA的中點G，連GF，易證
，則
即為所求二面角.
解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系D-xyz，則
。
(Ⅰ)設(shè)
，則
，
，由題得
，即
解之個方程組得
即
所以是側(cè)棱的中點。 
法2：設(shè)
，則
又
故
，即
，解得
，
所以是側(cè)棱的中點。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，又
，
，
設(shè)
分別是平面
、
的法向量，則
且
，即
且
分別令
得
，即
，
∴
二面角的大小
。
(20)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束。假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立。已知前2局中，甲、乙各勝1局。
(Ⅰ)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；
(Ⅱ)求甲獲得這次比賽勝利的概率。
[解析]本小題考查互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率，綜合題。
解：記“第
局甲獲勝”為事件
，“第
局甲獲勝”為事件
。
(Ⅰ)設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件A，則
，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故
。
(Ⅱ)記“甲獲得這次比賽勝利”為事件B，因前兩局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而
，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，故
(21)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
已知函數(shù)
.
(Ⅰ)討論
的單調(diào)性；
(Ⅱ)設(shè)點P在曲線
上，若該曲線在點P處的切線
通過坐標原點，求的方程
[解析]本小題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性，綜合題。
解：(Ⅰ)
令
得
或
；
令
得
或
因此，
在區(qū)間
和
為增函數(shù)；在區(qū)間
和
為減函數(shù)。
(Ⅱ)設(shè)點
，由
過原點知，的方程為
，
因此
，即
，整理得
，解得
或
。
所以的方程為
或
(22)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)
如圖，已知拋物線
與圓
相交于A、B、C、D四個點。
(Ⅰ)求r的取值范圍
(Ⅱ)當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標。
解：(Ⅰ)將拋物線代入圓的方程，消去
，整理得
．．．．．．．．．．．．．(1)
拋物線與圓相交于
、、
、
四個點的充要條件是：方程(1)有兩個不相等的正根
∴
即
。解這個方程組得
.
(II) 設(shè)四個交點的坐標分別為
、
、
、
。
則由(I)根據(jù)韋達定理有
，
則
令
，則
下面求
的最大值。
方法1：由三次均值有：
當且僅當
，即
時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。
法2：設(shè)四個交點的坐標分別為、、、
則直線AC、BD的方程分別為
解得點P的坐標為
。
設(shè)
，由
及(Ⅰ)得
由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積
則
將
，
代入上式，并令
，等
，
∴
，
令
得
，或
(舍去)
當
時，
；當時；當
時，
故當且僅當時，
有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為
。
(注意：在試題卷上作答無效)
(13)
的展開式中，
的系數(shù)與
的系數(shù)之和等于_____________.
[解析]本小題考查二項展開式通項、基礎(chǔ)題。(同理13)
解: 因
所以有
w.w.w.k.s.5.u.c。
(14)設(shè)等差數(shù)列
的前項和為
。若
，則
_______________.
[解析]本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前項和，基礎(chǔ)題。(同理14)
解: 
是等差數(shù)列,由,得
。
(15)已知
為球
的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為
，則球的表面積等于__________________.
[解析]本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積，基礎(chǔ)題。
解：設(shè)球半徑為
，圓M的半徑為
，則
，即
由題得
，所以
。
(16)若直線
被兩平行線
所截得的線段的長為
，則的傾斜角可以是
①
②
③
④
⑤
其中正確答案的序號是 .(寫出所有正確答案的序號)
[解析]本小題考查直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間的距離，考查數(shù)形結(jié)合的思想。
解：兩平行線間的距離為
，由圖知直線與
的夾角為
，的傾斜角為
，所以直線的傾斜角等于
或
。故填寫①或⑤
3．本卷共10小題，共90分．
(1)
的值為
(A) 
(B)
(C)
(D) 
[解析]本小題考查誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，基礎(chǔ)題。
解：
，故選擇A。
(2)設(shè)集合A={4，5，6，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集
=AB，則集合［u (A
B)中的元素共有
(A) 3個 (B) 4個 (C)5個 (D)6個
[解析]本小題考查集合的運算，基礎(chǔ)題。(同理1)
解：
，
故選A。也可用摩根律：
(3)不等式
的解集為D
(A)
(B)
(C) 
(D)
[解析]本小題考查解含有絕對值的不等式，基礎(chǔ)題。
解：
，
故選擇D。
(4)已知tan
=4,cot
=
,則tan(a+)=
(A)
(B)
(C) 
(D) 
[解析]本小題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系、正切的和角公式，基礎(chǔ)題。
解：由題
，
，故選擇B。
(5)設(shè)雙曲線
的漸近線與拋物線
相切，則該雙曲線的離心率等于
(A)
(B)2 (C)
(D)
[解析]本小題考查雙曲線的漸近線方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、雙曲線的離心率，基礎(chǔ)題。
解：由題雙曲線的一條漸近線方程為
，代入拋物線方程整理得
，因漸近線與拋物線相切，所以
，即
，故選擇C。
(6)已知函數(shù)的反函數(shù)為
，則
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
[解析]本小題考查反函數(shù)，基礎(chǔ)題。
解：由題令
得
，即
，又
，所以
，故選擇C。
(7)甲組有5名男同學、3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學，若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有
(A)150種 (B)180種 (C)300種 (D)345種
[解析]本小題考查分類計算原理、分步計數(shù)原理、組合等問題，基礎(chǔ)題。
解：由題共有
，故選擇D。
(8)設(shè)非零向量
、
、
滿足
，則
(A)150°B)120° (C)60° (D)30°
[解析]本小題考查向量的幾何運算、考查數(shù)形結(jié)合的思想，基礎(chǔ)題。
解：由向量加法的平行四邊形法則，知、可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且、為起點處的對角線長等于菱形的邊長，故選擇B。
(9)已知三棱柱
的側(cè)棱與底面邊長都相等，
在底面
上的射影為
的中點，則異面直線與
所成的角的余弦值為
(A)
(B) 
(C) 
(D)
[解析]本小題考查棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角，基礎(chǔ)題。(同理7)
解：設(shè)的中點為D，連結(jié)D，AD，易知
即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知
.故選D
(10) 如果函數(shù)
的圖像關(guān)于點
中心對稱，那么
的最小值為
(A)
(B) 
(C) 
(D)
[解析]本小題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，基礎(chǔ)題。
解: 函數(shù)
的圖像關(guān)于點
中心對稱
由此易得
.故選A
(11)已知二面角
為600 ，動點P、Q分別在面
內(nèi)，P到的距離為，Q到
的距離為
，則P、Q兩點之間距離的最小值為
[解析]本小題考查二面角、空間里的距離、最值問題，綜合題。(同理10)
解:如圖分別作
，連
，
又
當且僅當
，即
重合時取最小值。故答案選C�！ �
(12)已知橢圓
的右焦點為F,右準線，點
，線段AF交C于點B。若
,則
=
(A) 
(B) 2 (C) (D) 3
[解析]本小題考查橢圓的準線、向量的運用、橢圓的定義，基礎(chǔ)題。
解:過點B作
于M,并設(shè)右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故
.又由橢圓的第二定義,得
.故選A
2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
文科數(shù)學(必修
選修Ⅰ)
第Ⅱ卷
2．第Ⅱ卷共7頁，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．
3、面面成角(二面角)
方法一：直接作二面角(需要證明)
方法二：面積法(一定有垂直才能用)
PC ┴ 面ABC，記二面角P-AB-C為θ，則
(先寫公共邊/點，再按垂線依次往后寫，垂足放在分子)
附：使用時，可能會正弦定理與余弦定理搭配使用。
正弦定理：
余弦定理：
方法三：向量法
求，β所成二面角x，先求α ，法向量
所成的角θ
則
求距離
點到平面的距離
方法一：等體積法(注意點的平移，以及體積的等量代換)
例：求點B到PAC的距離h(已知PB┴面ABC)
(注意余弦定理，正弦定理的綜合應(yīng)用)
方法二：向量法
同上，設(shè)面PAC的法向量為n (可以自行求出)，在面PAC上任取一點，不妨礙取P，則
P
A B C
2、線線成角
幾何法：平移(中點平移，頂點平移)
向量法：
a ,b 夾角，
(幾何法時常用到余弦定理
)
國際學校優(yōu)選 - 練習冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com