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16. (寧夏海南19)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)求證：AC⊥SD；　　　　

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，　　　　

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，試說(shuō)明理由。

解法一：

　　 (Ⅰ)連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.

　　　 (Ⅱ)設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。

又，所以,

　　　 連，由(Ⅰ)知,所以,　　　

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小為。

　 (Ⅲ)在棱SC上存在一點(diǎn)E，使

由(Ⅱ)可得，故可在上取一點(diǎn),使,過(guò)作的平行線與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

　　 (Ⅰ)；連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。

　 設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高。

于是　 　　　　

故　　 　　， 從而　

　(Ⅱ)由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，

設(shè)所求二面角為，則,所求二面角的大小為

(Ⅲ)在棱上存在一點(diǎn)使.由(Ⅱ)知是平面的一個(gè)法向量，且　

設(shè)　　 　則

而 ，即當(dāng)時(shí)，　　 　　

而不在平面內(nèi)，故

15. (遼寧18) (本小題滿分12分)

如圖，己知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，

M，N分別為AB , DF的中點(diǎn)。

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF

所成角的正弦值；

(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線。

　(18)解：(1)解法一：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG， .

設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，

則MG⊥CD ，MG=2，NG= ， .

因?yàn)槠矫?i>ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF 。

可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角。

因?yàn)?i>MN=，所以 ，故MN與平面DCEF所成的角的正弦值為.

解法二：

設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則M(1，0，2)，N(0，1，0)，可得，

又為平面DCEF的法向量，

可得，

所以MN與平面DCEF所成的角的正弦值為.

(2)假設(shè)直線ME與BN共面，

則 AB平面MBEN ，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，

由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF .

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，

所以AB∥EN，又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設(shè)不成立.

所以ME與BN不共面，它們是異面直線.

14. (廣東18)(本小題滿分14分)如圖6，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是正方形的中心，點(diǎn)F、G分別是棱的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)E，G在平面內(nèi)的正投影．

(1)求以E為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；

(2)證明：直線；

(3)求異面直線所成角的正統(tǒng)值

解：(1)依題作點(diǎn)、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)、、、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為

　，

又面，，∴.

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，，，則，，，

∴，，即，，

又，∴平面.

(3)，，則，設(shè)異面直線所成角為，則.

13. (福建17)(13分)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，，

，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)

(1)　　　 求異面直線NE與AM所成角的余弦值

(2)　　　 在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由　 　　　　　　　　　　　　　　　　

解析：(1)在如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

依題意，得。

，

所以異面直線與所成角的余弦值為.A

(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面.

,可設(shè)

又.

由平面，得即

故，此時(shí).

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，平面.

故線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).

12. (安徽18)(本小題滿分13分)

如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

(I)求二面角B－AF－D的大��；

(II)求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積.

本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計(jì)算等知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問(wèn)題的能力。本小題滿分13分。

解：(I)(綜合法)連接AC、BD交于菱形的中心O，過(guò)O作OGAF，

G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

(向量法)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

設(shè)平面ABF的法向量，則由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF與平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。

(II)連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。過(guò)H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。

因?yàn)镋A⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而

由得。

又因?yàn)?sub>

故四棱錐H-ABCD的體積

11．(遼寧15)設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長(zhǎng)度單位為m)，

則該幾何體的體積為_________m³。

答案：4　 解析：設(shè)幾何體的直觀圖如右，

則。

10.(浙江17)如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段(端點(diǎn)除

外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)

作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是　　　　　　 ．

答案：　 [解析]此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因平面，即有，對(duì)于，又，因此有，則有，因此的取值范圍是

9.(浙江12)若某幾何體的三視圖(單位：)如圖所示，

則此幾何體的體積是　　　　　 ．

答案：18 　

解析：該幾何體是由二個(gè)長(zhǎng)方體組成，下面體積為，

上面的長(zhǎng)方體體積為，因此其幾何體的體積為18

8. (江蘇12)設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：

(1)若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；

(2)若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；

(3)設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；

(4)直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。

上面命題中，真命題的序號(hào)　 ▲　　 (寫出所有真命題的序號(hào)).

解析：考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號(hào)是(1)(2)

7. (天津12) 如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則

_______

[考點(diǎn)定位]本小題考查三視圖、三棱柱的體積，基礎(chǔ)題。

解析：知此幾何體是三棱柱，其高為3，底面是底邊長(zhǎng)為2，底邊上的高為的等腰三角形，所以有