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50.(2009年上海卷理)已知函數(shù)的反函數(shù)。定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足“積性質(zhì)”。

(1)　　　 判斷函數(shù)是否滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；　　

(2)　　　 求所有滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；

(3)　　　 設(shè)函數(shù)對(duì)任何，滿(mǎn)足“積性質(zhì)”。求的表達(dá)式。

解 (1)函數(shù)的反函數(shù)是

而其反函數(shù)為　

故函數(shù)不滿(mǎn)足“1和性質(zhì)”

(2)設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足“2和性質(zhì)”，

…….6分

而得反函數(shù)………….8分

由“2和性質(zhì)”定義可知=對(duì)恒成立

即所求一次函數(shù)為………..10分　

(3)設(shè)，，且點(diǎn)在圖像上，則在函數(shù)圖象上，

　　　 故，可得，　　　　　 �。�．．．．．12分

令，則。，即�！　。�．．．．．14分

綜上所述，，此時(shí)，其反函數(shù)就是，

而，故與互為反函數(shù) 。　　　　　　

2005-2008年高考題

7.(2009江蘇卷)(本小題滿(mǎn)分16分)

設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).

(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；

(3)設(shè)函數(shù)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式的解集.

解　 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力。滿(mǎn)分16分

(1)若，則

(2)當(dāng)時(shí)，

　 　當(dāng)時(shí)，

　 　綜上

(3)時(shí)，得，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，△>0,得：

討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;

當(dāng)時(shí)，解集為;

當(dāng)時(shí)，解集為.

49.(2009浙江理)(本題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)，，

其中． 　　

　 (I)設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

　 (II)設(shè)函數(shù)　 是否存在，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一

的非零實(shí)數(shù)()，使得成立？若存在，求的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解 (I)因，，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根，由得 　　　

，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有， 于是，得，而當(dāng)時(shí)有在 上有兩個(gè)相等的實(shí)根，故舍去，所以； 　　

(II)當(dāng)時(shí)有；

當(dāng)時(shí)有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=(ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合(ⅰ)(ⅱ)；

當(dāng)時(shí)A=B，則，即使得成立，因?yàn)?sub>在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，所以滿(mǎn)足題意． 　　

48.(2009年廣東卷文)(本小題滿(mǎn)分14分)

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行,且在=－1處取得最小值m－1(m).設(shè)函數(shù)

(1)若曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值

(2) 如何取值時(shí),函數(shù)存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).

解　 (1)設(shè)，則；

　　 又的圖像與直線平行　 　　　

　　 又在取極小值，　 　　，　　　

　　 ，　　　 ；

　　 ，　 設(shè)

　　 則

　　 　　　　　； 　　　　　　

　 　(2)由，

　　 得　　 　　　

　　 當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；

　　 當(dāng)時(shí)，方程有二解，若，，

　　 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；若，

　　 ，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

　　 當(dāng)時(shí)，方程有一解,　 , 函數(shù)有一零點(diǎn) 　　　　　　

47.(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則　　　

答案　 -8

解析　 因?yàn)槎�義在R上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)?sub>在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱(chēng)性知所以

[命題立意]:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,

對(duì)稱(chēng)性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題,

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題.

46.(2009江蘇卷)已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則、的大小關(guān)系為　 　　.

解析　　 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。　　

，函數(shù)在R上遞減。由得：m<n

45.(2009北京理)若函數(shù)　 則不等式的解集為_(kāi)___________.

答案　　

解析　 本題主要考查分段函數(shù)和簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的解法. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算

的考查.

　(1)由.

　(2)由.

　 ∴不等式的解集為，∴應(yīng)填.

41.(2009重慶卷理)若是奇函數(shù)，則　　　　　　 ． 　　

答案　　

解析　　 解法1

42(2009上海卷文) 函數(shù)f(x)=x³+1的反函數(shù)f^-1(x)=_____________.

答案　　

解析　　 由y＝x³+1，得x＝，將y改成x，x改成y可得答案。

44(2009北京文)已知函數(shù)若，則　　　　　 .　　　　　　　　　　

.w.w.k.s.5　 答案　　

.w　 解析　 5.u.c本題主要考查分段函數(shù)和簡(jiǎn)單的已知函數(shù)值求的值. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.

由，無(wú)解，故應(yīng)填.

40.(2009重慶卷文)把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖像．若對(duì)任意的，曲線與至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則 的最小值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

答案　　 B

解析　 根據(jù)題意曲線C的解析式為則方程

，即，即對(duì)任意

　 恒成立，于是的最大值，令則

　　　　　 由此知函數(shù)在(0，2)上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，即為4，于是。