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2．涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí),要注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略,避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算．

1．求拋物線方程的方法：待定系數(shù)法,定義法,直接法;

4．特別注意范圍的限定．

[例4](2005全國卷Ⅲ)設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，l是AB的垂直平分線．

　 (Ⅰ)當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；

　　　　　　　　　　　　　　　　 (Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍．

　　　　　　　　　　　　　　　　 解：(Ⅰ)兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等．

∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，不同時(shí)為0，

∴上述條件等價(jià)于

∵，　 ∴上述條件等價(jià)于　

即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F．

另解：(Ⅰ)∵拋物線，即，

∴焦點(diǎn)為

(1)直線的斜率不存在時(shí)，顯然有

(2)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，　　　　 截距為b

即直線：y=kx+b　　　 由已知得：

即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過焦點(diǎn)

所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F

(II)(理)設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為；過點(diǎn)A、B的直線方程可寫為，所以滿足方程得；

A，B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式

即

設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則

由

即得l在y軸上截距的取值范圍為()．

法二:y₁=2x₁², y₂=2x₂², 相減得

,

中點(diǎn)在拋物線內(nèi)必

[研討．欣賞](2005山東文)

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中．

(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：(I)如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為

(II)如圖，設(shè)，由題意得。又直線的傾斜角滿足，故。∴直線的斜率存在，否則，的傾斜角。從而設(shè)直線的方程為，顯然，將與

聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①

由，得

。將①式代入上式整理化簡(jiǎn)，得：此時(shí)直線的方程可表示為：，即。∴直線恒過定點(diǎn)

3．運(yùn)用距離公式求出標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù);

2．合理選擇坐標(biāo)系,確定標(biāo)準(zhǔn)方程;

[例1]給定拋物線y²=2x，設(shè)A(a，0)，a＞0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且｜PA｜=d，試求d的最小值．

解：設(shè)P(x₀，y₀)(x₀≥0)，則y₀²=2x₀，

∴d=｜PA｜=

==．

∵a＞0，x₀≥0，

∴(1)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1－a＞0，

此時(shí)有x₀=0時(shí)，d_min==a．

(2)當(dāng)a≥1時(shí)，1－a≤0，

此時(shí)有x₀=a－1時(shí)，d_min=．

[例2]過拋物線y²=2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦AB，點(diǎn)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A₁、B₁，求∠A₁FB₁．

解法1：由拋物線定義及平行線性質(zhì)知∠A₁FB₁=180°－(∠AFA₁+∠BFB₁)

=180°－(180°－∠A₁AF)－(180°－∠B₁BF)

=(∠A₁AF+∠B₁BF)=90°．

法2：設(shè)弦AB的方程是：

得,

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由韋達(dá)定理得y₁y₂= -p²

又,

∴從而知∠A₁FB₁=90°．

提煉方法： 1．平面幾何法與定義法結(jié)合,簡(jiǎn)捷高效;

2． 弦AB的方程是：(本題不存在AB垂直于y軸的情況),避開了斜率存在性的討論,解題中應(yīng)注意靈活運(yùn)用．

[例3] 如下圖所示，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程．

解：以直線l₁為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋物線的一段．其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn)．

設(shè)曲線段C的方程為y²=2px(p>0)(x_A≤x≤x_B，y>0)，其中x_A、x_B為A、B的橫坐標(biāo)，p=|MN|，

所以M(－，0) 、N(，0)．

由|AM|=，|AN|=3，得

(x_A+)²+2px_A=17，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

(x_A－)²+2px_A=9．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

①②聯(lián)立解得x_A=，代入①式，并由p>0，

x_A=1　　　 x_A=2．

因?yàn)椤?i>AMN為銳角三角形，所以>x_A．

x_A=2．　　　　 x_A=1．

由點(diǎn)B在曲線段C上，得x_B=|BN|－=4．

綜上，曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4，y>0)．

提煉方法： 1．熟練運(yùn)用定義確定曲線C是拋物線段;

5．把點(diǎn)A的坐標(biāo)(0，9)代入y=ax²+c得c=9，即運(yùn)動(dòng)物體的軌跡方程為y=ax²+9．

令y=0，得ax²+9=0，即x²=－．

若物體落在D內(nèi)，應(yīng)有6＜＜7，

解得－＜a＜－．　　 6.N(x₀+4, 0)

6．已知拋物線y²=8x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B及一個(gè)定點(diǎn)M(x₀, y₀)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數(shù)列，線段AB的垂直平分線與x軸交于一點(diǎn)N則點(diǎn)N的坐標(biāo)是_____________(用x₀表示)；

簡(jiǎn)答：1-4．BBDC；　 4．考慮特殊位置,令焦點(diǎn)弦PQ平行于軸,

5． 下圖所示的直角坐標(biāo)系中，一運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過點(diǎn)A(0，9)，其軌跡方程是y=ax²+c(a＜0)，D=(6，7)為x軸上的給定區(qū)間．為使物體落在D內(nèi)，a的取值范圍是___________；

4．過拋物線的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q,則等于 (　　 )

A　 　　　　B 　　　　C 　　　　　D