(二)考點(diǎn)預(yù)測(cè)題
1(2007年寧夏理4)．已知
是等差數(shù)列，
，其前10項(xiàng)和
，則其公差
( )
A．
B．
C．
D．
[解析]由
得a1=4, 則a10=a1+9d=4+9d=10，所以
．
[答案]D．
2(2008年天津卷20)．在數(shù)列
中，
，
，且
(
)．
(Ⅰ)設(shè)
(
)，證明
是等比數(shù)列；
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ)若
是
與
的等差中項(xiàng)，求
的值，并證明：對(duì)任意的，
是
與
的等差中項(xiàng)．
[解析](Ⅰ)證明：由題設(shè)(
)，得
，即
，．
又
，
，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
(Ⅱ)解法：由(Ⅰ)
，
，
……
，()．
將以上各式相加，得
()．
所以當(dāng)時(shí)，
上式對(duì)
顯然成立．
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，當(dāng)
時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故
．
由
可得
，由得
， ①
整理得
，解得
或
(舍去)．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
，．
所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．
3(2008年遼寧卷21)．在數(shù)列
，
中，a1=2，b1=4，且
成等差數(shù)列，
成等比數(shù)列(
)
(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
(Ⅱ)證明：
．
[解析](Ⅰ)由條件得
由此可得
．
猜測(cè)
．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即
，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②，可知
對(duì)一切正整數(shù)都成立．
4(2008-2009學(xué)年江蘇省鹽城市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考20)．已知數(shù)列和
滿(mǎn)足
,
,
.
(Ⅰ) 當(dāng)
時(shí),求證: 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)
,一定不是等差數(shù)列；
(Ⅱ) 當(dāng)
時(shí),試判斷是否為等比數(shù)列；
(Ⅲ) 設(shè)
為數(shù)列的前
項(xiàng)和,在(Ⅱ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)
,使得對(duì)任意的正
整數(shù),都有
?若存在,請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[解析](Ⅰ)當(dāng)時(shí),
假設(shè)是等差數(shù)列,由
得
,即5=2,矛盾.
故對(duì)于任意的實(shí)數(shù),一定不是等差數(shù)列.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
.而,所以
=
.
又
.
故當(dāng)
時(shí), 不是等比數(shù)列.
當(dāng)
時(shí), 是以
為首項(xiàng),
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)時(shí),
,不合要求.
所以,于是
,要使成立,
則
.
令
,當(dāng)n正奇數(shù)時(shí),
；當(dāng)n正偶數(shù)時(shí),
.
故的最大值為
,最小值為
.
欲對(duì)任意的正整數(shù)n都成立,則
,即
,所以
.
綜上所述,存在唯一的實(shí)數(shù)=
,使得對(duì)任意的正整數(shù),都有.
(一)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的應(yīng)用以及等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，也會(huì)是今年高考的重點(diǎn)．對(duì)數(shù)列部分的考查一方面以小題考查數(shù)列的基本知識(shí)；另一方面以解答題形式考查等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式．解答題作為壓軸題的可能性較大，與不等式、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)等一起綜合考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證、運(yùn)算等能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．具體地：
1． 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題目，要切實(shí)注意與的關(guān)系．
2．探索性問(wèn)題在數(shù)列中考查較多，試題沒(méi)有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明．探索性問(wèn)題對(duì)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力有較高的要求．
3．等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)必考．這類(lèi)考題既有選擇題、填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。
4．求和問(wèn)題也是常見(jiàn)的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和．
5．將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問(wèn)題也是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從本章在高考中所占的分值來(lái)看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．
6．有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問(wèn)題既是考查的重點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)．另外數(shù)列與程序框圖的綜合題也應(yīng)引起重視．
1(天津市漢沽一中2009屆月考文7)．已知是等差數(shù)列，
，
，則該數(shù)列前10項(xiàng)和
等于( )
A．64 B．100 C．110 D．120
[解析]設(shè)公差為
，則由已知得
，
．
[答案]B．
2(遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬)．設(shè)等差數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，則
( )
A．18 B．17 C．16 D．15
[解析]等差數(shù)列中
，公差
，
．[答案]A.
3(寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷10)．如圖，一只青蛙在圓周上標(biāo)有數(shù)字的五個(gè)點(diǎn)上跳，若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次
沿順時(shí)針?lè)较蛱鴥蓚�(gè)點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上，則下一次沿逆時(shí)針?lè)较蛱粋�(gè)點(diǎn)，若青蛙從
這點(diǎn)開(kāi)始跳，則經(jīng)2009次跳后它停在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為( )
A．
B．
C．
D．
[解析]5-2-1-3-5，周期為4，2009=4×502+1，經(jīng)過(guò)2009次跳后它停在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為2．
[答案]B．
4(2008~2009學(xué)年福建高考樣卷·理)．已知等比數(shù)列
中
，則其前3項(xiàng)的和
的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
[解析]設(shè)公比為
，
，由
或
，所以取值范圍為．
[答案]D．
5(2008~2009學(xué)年福州質(zhì)檢·理)．
，則
[解析]
．
[答案]2236．
6(溫州十校2008學(xué)年度第一學(xué)期期中高三數(shù)學(xué)試題理).已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和
滿(mǎn)足
,則=
.
[解析]由條件得：
，
，則，時(shí)，
．
[答案]
．
7(浙江省杭州市2009年第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷理科).數(shù)列中，
，
(
是不為零的常數(shù)，
)，且
成等比數(shù)列．
(1)求的值；
(2)求的通項(xiàng)公式；
(3)求數(shù)列
的前項(xiàng)之和
．
[解析](1)，
，
，
因?yàn)?sub>
，
，成等比數(shù)列，
所以
，
解得
或
．
∵c≠0，∴．
(2)當(dāng)
時(shí)，由于
，
，
，
所以
．
又，，故
．
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以
．
(3)令
……①
……②
①-②得：
8(一中2008-2009月考理18)．已知數(shù)列{}中，
在直線(xiàn)y=x上，其中n=1,2,3….
(1)令
求證數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)；
�、� 設(shè)
的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列
為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說(shuō)明理由．
[解析](I)由已知得
又
是以
為首項(xiàng)，以
為公比的等比數(shù)列.
(II)由(I)知，
將以上各式相加得：
(III)解法一：
存在
，使數(shù)列
是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是
、
是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)
，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
由(I)、(II)知，
又
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．
9(2008-2009學(xué)年山東師大附中高三數(shù)學(xué)模擬考試試題文科數(shù)學(xué)21)．已知函數(shù)
，設(shè)曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)與
軸的交點(diǎn)為
，其中
為正實(shí)數(shù)
(1)用
表示
；
(2)
,若
，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和
，記數(shù)列
的前項(xiàng)和
，求．
[解析](1)由題可得
，所以在曲線(xiàn)上點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為
，即
令
，得
，即
由題意得
，所以
(2)因?yàn)?sub>，所以
即
，所以數(shù)列為等比數(shù)列故
---8分
(3)當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
，故數(shù)列
的通項(xiàng)公式為
①
①
的
②
①
②得
故
．
10(廣州市越秀區(qū)2009年高三摸底調(diào)研理21).已知
(m為常數(shù)，m>0且
)，設(shè)
是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若bn=an·
，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)
時(shí)，求Sn；
(3)若cn=
，問(wèn)是否存在m，使得{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？
若存在，求出m的范圍；若不存在，說(shuō)明理由.
[解析](1)由題意
即
∴
∴
∵m>0且，∴m2為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{an}是以m4為首項(xiàng)，m2為公比的等比數(shù)列
(2)由題意
，
當(dāng)
∴
①
①式兩端同乘以2，得
②
②－①并整理，得
=
…10分
(3)由題意 
要使
對(duì)一切
成立，即 
對(duì)一切
成立，
①當(dāng)m>1時(shí)， 
成立；
②當(dāng)0<m<1時(shí)，
∴
對(duì)一切 成立，只需
，
解得 
， 考慮到0<m<1， ∴0<m<
綜上，當(dāng)0<m<
或m>1時(shí)，數(shù)列{cn}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng).
1(2008年廣東卷2).記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若
，
，則
( )
A．16 B．24 C．36 D．48
[解析]
，
，故
．
[答案]D．
2(2008年浙江卷6).已知
是等比數(shù)列，
，則
=( )
(A)16(
)
(B)16(
)
(C)
()
(D)()
[解析]由
，解得
，
數(shù)列
仍是等比數(shù)列：其首項(xiàng)是
公比為
，
所以
．
[答案]C．
3(2007年天津理8)．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，
．若
是與
的等比中項(xiàng)，則
( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析]是與的等比中項(xiàng)，則
，
又
，則
，
(舍負(fù))．
[答案]B．
4(2008年江蘇卷10).將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的規(guī)律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 �。�
[解析]前n－1 行共有正整數(shù)1+2+…+(n－1)個(gè)，即
個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，即為
．
[答案]．
5(2007年浙江文19) .已知數(shù)列{}中的相鄰兩項(xiàng)
、是關(guān)于x的方程
的兩個(gè)根，且≤ (k ＝1，2，3，…)．
(I)求
及
(n≥4)(不必證明)；
(Ⅱ)求數(shù)列{}的前2n項(xiàng)和S2n．
[解析] (I)方程的兩個(gè)根為
．
當(dāng)k＝1時(shí)，
，所以；
當(dāng)k＝2時(shí)，
，所以
；當(dāng)k＝3時(shí)，
，所以
；
當(dāng)k＝4時(shí)，
，所以
；
因?yàn)閚≥4時(shí)，
，所以
(Ⅱ)
＝
．
6(2007年山東理17).設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足
，
．
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(Ⅱ)設(shè)
，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
[解析](I)
，
．
驗(yàn)證
時(shí)也滿(mǎn)足上式，
．
(II) 
，
，
，
則
，
，所以
．
7(2008年安徽卷21)．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足
為實(shí)數(shù)
(Ⅰ)證明：
對(duì)任意成立的充分必要條件是
；
(Ⅱ)設(shè)
，證明：
;
(Ⅲ)設(shè)，證明：
[解析](Ⅰ)必要性 ：
，
又 
，即
充分性 ：設(shè) ，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)時(shí)，
.假設(shè)
則
，且
，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有成立
(Ⅱ) 設(shè) ，當(dāng)時(shí)，
，結(jié)論成立
當(dāng) 時(shí)，
,由(1)知
，所以 
且 
(Ⅲ)設(shè) ，當(dāng)時(shí)，
，結(jié)論成立
當(dāng)時(shí)，由(2)知
．
2．等差數(shù)列、等比數(shù)列
(1) 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．
(2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．
(3)能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．
�、� 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
高考對(duì)數(shù)列的考查比較全面，重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差(比)中項(xiàng)及等差和等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用；在能力要求上，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，其中考查思維能力是支柱，運(yùn)算能力是主體，應(yīng)用是歸宿．
主要考點(diǎn)有：
1．?dāng)?shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法
(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式)．
(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)．
10．(2000春全國(guó))已知拋物線(xiàn)y2＝4px(p＞0)，O為頂點(diǎn)，A、B為拋物線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．
分析：點(diǎn)M隨著A、B兩點(diǎn)的變化而變化，點(diǎn)M是OM與AB的交點(diǎn)，而A、B為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M與A、B的直接關(guān)系不明顯，因此需引入?yún)?shù)．
解法一：設(shè)M(x0，y0)，則kOM=
，kAB=－
，
直線(xiàn)AB方程是y=－(x－x0)+y0．
由y2=4px可得x=
，代入上式整理得
x0y2－(4py0)y－4py02－4px02=0． ①
此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
∴A(
，y1)、B(
，y2)．
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=－1．
∴
·
=－1．∴y1y2=－16p2．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由①可得
y1·y2=
，
∴=16p2．
化簡(jiǎn)，得x02+y02－4px0=0，
即x2+y2－4px=0(除去原點(diǎn))為所求．
∴點(diǎn)M的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．
解法二：設(shè)M(x，y)，直線(xiàn)AB方程為y=kx+b，
由OM⊥AB得k=－
．
由y2=4px及y=kx+b消去y，得
k2x2+x(2kb－4p)+b2=0．
所以x1x2=
．消去x，得ky2－4py+4pb=0．
所以y1y2=
．由OA⊥OB，
得y1y2=－x1x2，
所以
=－，b=－4kp．
故y=kx+b=k(x－4p)．
用k=－代入，得
x2+y2－4px=0(x≠0)．
解法三：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，直線(xiàn)OA的方程為y=kx，
|
x．
|
y2=4px，
類(lèi)似地可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(4pk2，－4pk)，
從而知當(dāng)k≠±1時(shí)，
kAB=
=
．
故得直線(xiàn)AB的方程為y+4pk=(x－4pk2)，
即(－k)y+4p=x，
①
直線(xiàn)OM的方程為y=－(－k)x． ②
可知M點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿(mǎn)足①②，
由①及②消去k便得4px=x2+y2，
即(x－2p)2+y2=4p2，但x≠0，
當(dāng)k=±1時(shí)，容易驗(yàn)證M點(diǎn)的坐標(biāo)仍適合上述方程．
故點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2p)2+y2=4p2(x≠0)，
它表示以點(diǎn)(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓．
[探索題](2006遼寧)
已知點(diǎn)
,
是拋物線(xiàn)
上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),
是坐標(biāo)原點(diǎn),向量
,
滿(mǎn)足
．設(shè)圓
的方程為
(I)證明線(xiàn)段
是圓的直徑;
(II)當(dāng)圓C的圓心到直線(xiàn)x-2y=0的距離的最小值為
時(shí)，求P的值。
(I)證法一：∵，
∴
，
即
，
整理得
．
∴
1
設(shè)點(diǎn)
是以線(xiàn)段為直徑得圓上得任意一點(diǎn)，則
即
展開(kāi)上式并將1帶入得
故線(xiàn)段是圓的直徑．
證法二：同法一得：
1
以 AB 為直徑的圓的方程是
，
展開(kāi)，并將①代入得
所以線(xiàn)段 AB 是圓 C 的直徑
(II)解法一：設(shè)圓的圓心為
則
∵
∴
又∵
＝0
∴
∴
∵
，∴
, ∴
∴
，
所以圓心的軌跡方程為：
設(shè)圓心到直線(xiàn)
的距離為
，則
當(dāng)
時(shí)，有最小值
，由題設(shè)得
，∴
解法二：同法一得：圓心的軌跡方程為：
設(shè)直線(xiàn)
與的距離為，則
當(dāng)
與
僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
該點(diǎn)到的距離最小，最小值為，
由 ②
③
消x得
，
由
得 (∵
)
解法三：設(shè)圓的圓心為，則
若圓心到直線(xiàn)的距離為，那
∵
∴
又∵
， ，
∵，∴
∴
當(dāng)
時(shí)，有最小值，由題設(shè)得，
∴
9．(本小題滿(mǎn)分14分)(2005年春考·北京卷·理18)
如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)
在
軸和
軸上的截距分別是
和
，且交拋物線(xiàn)
于
、
兩點(diǎn)．
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的截距式方程；
(2)證明：
；
(3)當(dāng)
時(shí)，求
的大�。�
(Ⅰ)解：直線(xiàn)l的截距式方程為 
�、�
(Ⅱ)證明：由①及y2=2px消去x可得
②
點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)y1, y2為②的兩個(gè)根，故
(Ⅲ)解：設(shè)OM，ON的斜率分別為k1,k2,
8．(本小題滿(mǎn)分14分)(2005年高考·廣東卷17)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿(mǎn)足AO⊥BO(如圖4所示)．
(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn))的軌跡方程；
(Ⅱ)△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(I)設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 則
…(1)
∵OA⊥OB，即， ……(2)
又點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，有
，代入(2)化簡(jiǎn)得
∴
，
所以重心為G的軌跡方程為
．
(II)
由(I)得
當(dāng)且僅當(dāng)
即
時(shí)，
．
所以△AOB的面積存在最小值，且最小值為1．
7．(2005春北京文)
如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(2，0)且斜率為k的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)y2=2x于M(x1,y1),N(x2, y2)兩點(diǎn)．
(1)求x1x2與y1y2的值；
(2)求證：OM⊥ON．
(Ⅰ)解：直線(xiàn)l的方程為
�、�
代入y2=2x消去y可得
②
點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)x1與 x2是②的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得
(Ⅱ)證明：設(shè)OM，ON的斜率分別為k1, k2,
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