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(三)高頻考點及考題類型

　　 1、直線以傾斜角、斜率、夾角、距離、平行與垂直、線性規(guī)劃(老)等有關(guān)的問題，其中要重視“對稱問題”及”線性規(guī)劃問題”的解答。

　　 2、與圓位置有關(guān)的問題，一是研究方程組；二是充分利用平面幾何知識。重在后者。

3、求曲線的方程或軌跡問題，涉及圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)(如求離心率的問題)

4、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，如參數(shù)的變量取值范圍、最值；幾何參量的求值問題。

5、以圓錐曲線為載體在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計問題，其目的是加強聯(lián)系注重應(yīng)用，考查學(xué)生的應(yīng)變能力以及分析問題和解決問題的能力。

(一)基本知識網(wǎng)絡(luò)

(二)基本知識點(定義公式)

1、 直線

(1)兩點P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距離公式：.

若直線的斜率為k，則.

　(老教材)定比分點坐標(biāo)分式。若點P(x,y)分有向線段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).則　　　

特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

(2)　　 直線的傾斜角(0°≤＜180°)、斜率: 過兩點.

當(dāng)(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角＝，沒有斜率

(3)直線方程的幾種形式：

直線名稱	已知條件	直線方程	使用范圍
點斜式			k存在
斜截式	k,b		k存在
兩點式	(x1,y1)、(x2,y2)
截距式	a,b
一般式			A、B不全為0
參數(shù)式	傾斜角		t為參數(shù)

(4)兩條直線的位置關(guān)系

①若兩條直線的方程分別為　 l₁： y=k₁x+b₁；　 l₂： y=k₂x+b₂．則　

l₁|| l₂⇔k₁=k₂,且b₁≠b₂;　　 　l₁⊥l₂⇔k₁•k₂= -1 ;

當(dāng)1+k₁k₂≠0時，若q為l₁到l₂的角，則， 若α為l₁和l₂的夾角則，

②如果直線l₁、l₂的方程分別為l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,　 l₂: A₂x+B₂y+C₂=0　 則l₁與l₂

　相交的充要條件：；交點坐標(biāo)：

. 平行的充要條件：l₁|| l₂⇔A₁B₂-A₂B₁=0,(B₁C₂-B₂C₁)²+(C₁A₂-C₂A₁)²≠0.

　垂直的充要條件：l₁⊥ l₂⇔A₁A₂+B₁B₂=0.

　重合的充要條件：l₁與l₂重合⇔A₁B₂-A₂B₁=B₁C₂-B₂C₁=C₁A₂-C₂A₁=0 (或).

若 A₁A₂+B₁B₂≠0，直線l₁到直線l₂的角是θ，則有tanθ=

(5)直線系方程

①與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).

② 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)

③ 過定點(x₁,y₁)的直線系方程是：　 A(x-x₁)+B(y-y₁)=0　 (A,B不全為0)

④ 過直線l₁、l₂交點的直線系方程：(A₁x+B₁y+C₁)+λ( A₂x+B₂y+C₂)=0 (λ∊R) 注：該直線系不含l₂.

(5)距離

①點P(x_o,y_o)到直線l：Ax+By+C= 0的距離　

②兩平行線l₁:Ax+By+c₁=0, l₂:Ax+By+c₂=0間的距離公式:d=

2、圓

(1)　　 圓的定義：平面上到一定點的距離等于定長的點的軌跡。

(2)　　 圓的方程

① 圓的標(biāo)準方程：(x-a)²+(y-b)²=r²

②一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0,(D²+E²-4F>0)　 圓心坐標(biāo)：(-，-) 半徑r=

③以(x₁,y₁),(x₂,y₂)為直徑兩端的圓的方程：(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

④圓的參數(shù)方程：　 (為參數(shù))

　　 (3) 點與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C∶(x-a)²+(y-b)²=r²，點M(x₀，y₀)到圓心的距離為d，則有：

幾何表示(1)d＞r 點M在圓外；　 (2)d=r 點M在圓上；　　　　　 (3)d＜r 點M在圓內(nèi)．

　　 代數(shù)表示(x-a)²+(y-b)²＞r²點M在圓外；(x-a)²+(y-b)²＝r²點M在圓上；(x-a)²+(y-b)²＜r²點M在圓內(nèi)；

(4)直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(x-a)²+(y-b)²=r²,　 直線l的方程為Ax+By+C=0.1圓心(a,b)到l的距離為d;

　2消去y得關(guān)于x的一元二次方程判別式為△，則有：

(5) 圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C1：(x-a)²+(y-b)²=r₁²和圓C2：(x-m)²+(y-n)²=r₂²(r₁≥r₂)，且設(shè)兩圓圓心距為d，則有：

(6)幾個常用結(jié)論和方法

①弦長的求解：弦心距d、圓半徑r、弦長l,則：(根據(jù)垂弦定理和勾股定理)

②圓的切線方程的求法

過圓上的點的圓的切線方程

..圓x²+y²=r²，圓上一點為(x₀，y₀)，則此點的切線方程為x₀x+y₀y=r²(課本命題)．

..圓(x-a)²+(y-b)²=r²，圓上一點為(x₀，y₀)，則過此點的切線方程為(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r²(課本命題的推廣)．

..以(x₀,y₀)為切點的圓x²+y²+Dx+Ey+F=0的切線方程：分別以x_ox,y_oy,替換圓方程中的x²,y²,x,y.

過圓外一點M(x_o,y_o)，作圓(x-a)²+(y-b)²=r²的切線，可設(shè)切線方程為點斜式：

　 y-y_o=k(x-x_o)，利用圓心到直線的距離等于半徑或與圓的方程聯(lián)立用判別式法求k。

注意： 由圓外一點向圓引切線，應(yīng)當(dāng)有兩條切線。但，可能只算出一個 k值，那么，另一條斜率不存在，即過(x₀,y₀)垂直于x軸的直線x=x₀.

③兩圓相交時的公共弦方程、兩圓外切時的內(nèi)公切線、兩圓內(nèi)切時的外公切線：兩圓方程作差，消去二次項所得的直線方程即為所求。

3圓錐曲線

(1)橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準方程與幾何性質(zhì)(見后表)

(2)橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).

(3)等軸雙曲線

(4)共軛雙曲線

(5)方程y²=ax與x²=ay的焦點坐標(biāo)及準線方程.

(6)共漸近線的雙曲線系方程.

(7)點、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準方程與幾何性質(zhì)

	橢圓	雙曲線	拋物線
定義	1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡	1．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0<e<1)	2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(e>1)	與定點和直線的距離相等的點的軌跡.
圖形
方 　 　 程	標(biāo)準方程	(>0)	(a>0,b>0)	y2=2px
參數(shù)方程			(t為參數(shù))
范圍	─a£x£a，─b£y£b	|x| ³ a，yÎR	x³0
中心	原點O(0，0)	原點O(0，0)
頂點	(a,0),　 (─a,0),　 (0,b) , (0,─b)	(a,0),　 (─a,0)	(0,0)
對稱軸	x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長2b	x軸，y軸; 實軸長2a, 虛軸長2b.	x軸
焦點	F1(c,0), F2(─c,0)	F1(c,0), F2(─c,0)
焦距	2c　 (c=)	2c　 (c=)
離心率			e=1
準線	x=	x=
漸近線		y=±x
焦半徑
通徑			2p
焦參數(shù)			P

4、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

(1) 曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解(純粹性)；

(2) 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上(完備性)。

則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。

2.求曲線方程的方法：.

(1)待定系數(shù)法; (2) 直接法(直譯法)；(3)定義法; (4)相關(guān)點代入法(轉(zhuǎn)移法)；(5)參數(shù)法.

3.過兩條曲線f₁(x,y)=0與f₂(x,y)=0的公共點的曲線系方程：

(二)考點預(yù)測題

1(2008年江蘇卷5).，的夾角為，， 則　　　 ．

[解析]=，則7．

[答案]7．

2(2007年山東理11)．　 在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是(　)

A．　　 　B． 　

C．　 　　D．

[解析]由于 cso∠CAB=||², 可排除A. cos∠ABC=², 可排除B , 而cos(π－∠ACD)=－|cos∠ACD<0 ， |>0 , ∴|≠，可知選C．

[答案]C．

3(廣東省2009屆高三第一次六校聯(lián)考(理)16)．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，．

(Ⅰ)若a⊥b，求θ；

(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．

[解析](Ⅰ)若a⊥b，則sinθ+cosθ＝0， 　　 　　　　　　　　　　　　　

由此得　 tanθ＝－1()，

所以 θ＝；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得

｜a+b｜＝＝

＝， 　　　　　　　　　　　　　　　　

當(dāng)sin(θ+)＝1時，|a+b|取得最大值，

即當(dāng)θ＝時，|a+b|最大值為+1． 　　　　　　　　　　　　　

4(2009屆廣東五校高三第二聯(lián)考試卷文) ．已知向量，，．

　 (1)若的夾角；

　 (2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．

[解析](1)當(dāng)時，

(2)

．

∴，故

∴當(dāng)時，即，所以．

(一)文字介紹

　　 預(yù)計向量基本概念、向量基本運算等基礎(chǔ)問題，通常為選擇題或填空題出現(xiàn)；而向量與三角函數(shù)、解三角形等綜合的問題，通常為解答題，難度以中檔題為主．具體如下：

1．向量概念和向量的基本定理

有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型．

2．向量的運算

向量的運算要求掌握向量的加減法運算，會用平行四邊形法則、三角形法則進行向量的加減運算；掌握實數(shù)與向量的積運算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運算，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量積的運算，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合．

3．向量與三角函數(shù)的綜合問題

向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識，三角函數(shù)的知識，達到了高考中試題的覆蓋面的要求．命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題．

4．平面向量與函數(shù)問題的交匯

平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍．命題多以解答題為主，屬中檔題．

1(漢沽一中2008~2009屆月考文9)．已知平面向量, , 且, 則(　 )

A．　　　 B．　　 C．　　　 D．

[解析]∵,∴,．

B．

2(浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測試數(shù)學(xué)試題(理)5)．已知，點P在直線AB上，且滿足，則=(　 )

A、　　 B、　　 C、2　　　 D、3　

[解析]如圖所示，不妨設(shè)；找共線，對于點P在直線AB上，有；列方程，因此有，即；而，即有，因此時.即有=.

[答案]B．

3(沈陽二中2009屆高三期末數(shù)學(xué)試題).設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，，則點P是△ABC的(　 )

A．內(nèi)心　　　　　　　 B．外心　　　　 C．重心　　　　 D．垂心　　

[解析]

[答案]D.

4(寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期高三期末數(shù)(文))．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，

，O為原點，且(其中均為實數(shù))，若N(1，0)，則的最小值是　　　　 .

[解析]由及知，點M與點A、B共線，所以的最小值是點N到直線AB的距離，在直角三角形ABN中求解得．

[答案].

5(福州質(zhì)檢·理).已知，若，則　　　　　　 ．

[解析]由得：，即，所以，．

[答案]．

6(江蘇省南通市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷13) .在△ABC中，，D是BC邊上任意一點(D與B、C不重合)，且，則等于　　　 ▲　　　 ．

[解析]當(dāng)點D無限逼近點C時，由條件知趨向于零，，即△ABC是等邊三角形．

[答案] ．

7 ( 江蘇省常州市2008-2009高三第一學(xué)期期中統(tǒng)一測試10) .已知，且關(guān)于的函數(shù)在R上有極值，則與的夾角范圍為_______.

[解析]，依題意，

即，，又夾角，所以范圍為．

[答案]．　 　

8(2008年東北三省三校高三第一次聯(lián)合模擬考試).

已知向量

(1)當(dāng)時，求的值；

(2)求在上的值域．

[解析](1) ，∴，∴

．

(2)

∵，∴，∴

∴　 ∴函數(shù) ．

9(紹興市2008學(xué)年第一學(xué)期統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題).已知向量，

(1)若求的值；

(2)設(shè)，求的取值范圍.

[解析](1)因

，∴，兩邊平方得，

∴．

(2)因，∴

又，∴的取值范圍為.

10 (溫州市十校2008學(xué)年高三第一學(xué)期期初聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題(文)) ．已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為、、．

　 (1)若的值；

　 (2)若，求的值．

[解析](1) 　　

∵　 ∴

即

∴，又∵，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)

，∴，

兩邊平方，得，

=．　　　

1(2008年安徽卷3)．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若，,則(　　 )

A．(－2，－4)　 B．(－3，－5)　　 C．(3，5)　　 D．(2，4)

[解析]因為，選B．

[答案]B．

2(2007年山東文5)．已知向量，若與垂直，則(　 C　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．4

[解析]∵2－與垂直. ∴(2－)·=0, 而2－= (3 , n) , ∴－3+n²=0 , 而||² == 4 即 ||=2 . 兩個非零向量⊥·=0x₁x₂+y₁y₂=0 , ||² =² = x² +y²．

[答案]C．

3(2008年遼寧卷理5).已知是平面上的三個點,直線上有一點,滿足,則等于(　 )

　 A.　　 B.　　 C.　　 D.

[解析]依題∴

[答案]A．

4(2008年浙江卷理9)．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是(　　 )

　　 　A. 1　　　 B. 2 　　C. 　　　D.

[解析]

∴，則的最大值是；

∴，對應(yīng)的點A,B在圓上,對應(yīng)的點C在圓上即可.

[答案]C．

5(2008年天津卷理14)．如圖，在平行四邊形中，，

則　　　 ．

[解析]令，，則

所以.

[答案]3．

6(2007年天津理15)．如圖，在中，，是邊上一點，，則　　　．

[解析]在中，有余弦定理得，，

由正弦定理得，則，在中，由余弦定理求得，則，

由余弦定理得，

_．

[答案]．

7(2007年廣東文16)．已知ΔABC三個頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．

　　 (1)若，求的值；

(2)若，求sin∠A的值

[解析] (1) ，，

　　　　 　由　 得．

　　　 (2)　 ，， ，

．

5．向量的應(yīng)用

　(1)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．

　(2)會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題．

4．平面向量的數(shù)量積

　(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．

　(2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．

　(3)掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．

　(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．

3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

　(1) 了解平面向量的基本定理及其意義．

　(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．

　(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．

　(4) 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．

2．向量的線性運算

　(1) 掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．

　(2) 掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．

　(3) 了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．