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18.證明：(法一)要證原不等式成立，只須證：

即只須證：

由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立。

(法二)由對(duì)稱性，不妨設(shè)：,則，

所以：(順序和)(亂序和)

(順序和)(亂序和)

將以上兩式相加即得：.

17. 提示：這是一個(gè)與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)證時(shí)命題成立；第二步要明確目標(biāo)，即在假設(shè)能夠被6整除的前提下，證明也能被6整除.

證明：1)當(dāng)時(shí)，顯然能夠被6整除，命題成立.

　　　 2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能夠被6整除.

　　　 當(dāng)時(shí)，

.

　　　 由假設(shè)知能夠被6整除，而是偶數(shù)，故能夠被6整除，從而即能夠被6整除.因此，當(dāng)時(shí)命題成立.

　　　 由1)2)知，命題對(duì)一切正整數(shù)成立，即能夠被6整除;

16.提示:

15.提示:

14.提示: .

13.提示:

12. 提示：利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件.這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

解：函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，且.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)函數(shù)取最大值.

11. 提示：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.另外，如果從正面證明，需要對(duì)某一個(gè)分式小于2或兩個(gè)分式都小于2等進(jìn)行分類討論，而從反面證明，則只要證明兩個(gè)分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮采用反證法.

證明：假設(shè)，都不小于2，即，且.

因?yàn)?sub>，，所以，且.把這兩個(gè)不等式相加，得，

從而.這與已知條件矛盾.因此，，都不小于2是不可能的，即原命題成立.

10．提示：觀察要證明的結(jié)論，左邊是個(gè)因式的乘積，右邊是2的次方，再結(jié)合，發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為，，…，的乘積，問題就能得到解決.

證明：因?yàn)?sub>，所以，即.

同理，，…….因?yàn)?sub>，，…，，由不等式的性質(zhì)，

得.

因?yàn)?sub>時(shí)，取等號(hào)，所以原式在時(shí)取等號(hào).

9.分析：觀察欲證不等式的特點(diǎn)，左邊3項(xiàng)每一項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的平方之和與另一個(gè)數(shù)之積，右邊是三個(gè)數(shù)的積的6倍.這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)啟發(fā)我們采用如下方法.

證明：因?yàn)?sub>≥，，所以≥.　　　　　　 ①

因?yàn)?sub>≥，，所以≥.　　　　　　　　　 ②

因?yàn)?sub>≥，，所以≥.　　　　　　　　　 ③

由于，，不全相等，所以上述①②③式中至少有一個(gè)不取等號(hào)，把它們相加得.