Question

3．如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分線，求證：AB+BD=AC．

Answer 1

分析 在AC上截取AE=AB，連接DE，求出∠BAD=∠EAD，根據(jù)SAS推出△BAD≌△EAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BD=DE，∠B=∠AED，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和已知求出∠EDC=∠C，推出DE=EC=BD即可．

解答 證明：
在AC上截取AE=AB，連接DE，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠EAD，
∵在△BAD和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AB=AE}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵∠AED=∠C+∠EDC，∠B=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC=BD，
∴AB+BD=AE+EC=AC．

點評 本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．