Question

8．如圖，△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠CEA=45°，求證：AE⊥BE．

Answer 1

分析 首先過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CE交BE的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=45°，得到∠ABC=∠CEA=45°，推出A，B，E，C四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得到∠CAE=∠CBE，推出△ACE≌△BCF（SAS），于是得到∠AEC=∠F=45°，即可得到結(jié)論．

解答 證明：過(guò)C點(diǎn)作CF⊥CE交BE的延長(zhǎng)線于F，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠ABC=45°，
∵∠CEA=45°，
∴∠ABC=∠CEA=45°，
∴A，B，E，C四點(diǎn)共圓，
∴∠CAE=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECF，
∴∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCF}\\{AC=BC}\\{∠CAE=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠AEC=∠F=45°，
∴∠AEF=∠AEC+∠CEF=90°，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．