Question

3．等腰直角三角形ABC的斜邊AB的長為4，CD為邊AB上的高線，P為CD上的一點，以BP為直角邊向下作等腰直角三角形BPE，如圖所示，則DE的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接AE，過E作EF⊥AB于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，當點P與C重合時，E與A重合，求得DE=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，當點P與D重合時，E在CD的延長線上，求得DE=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，當點P在CD的中點時，推出△BCP∽△ABE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠BCP=45°，$\frac{AE}{PC}$=$\sqrt{2}$，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DE=AE=$\sqrt{2}$，此時DE最�。�

解答 解：連接AE，過E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=45°，
∵當點P與C重合時，E與A重合，
∴DE=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵當點P與D重合時，E在CD的延長線上，
∴DE=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
當點P在CD的中點時，
∵PD=PC=$\frac{1}{2}$CD=1，BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴PB=$\sqrt{5}$，
∵△PBE是等腰直角三角形，
∴∠PBE=45°，BE=$\sqrt{2}$PB=$\sqrt{10}$，
∴∠PBC=∠DBE，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{PB}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{PB}{BE}$，
∴△BCP∽△ABE，
∴∠BAE=∠BCP=45°，$\frac{AE}{PC}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∴AF=1，
∵AD=2，
∴AF=DF，
∴DE=AE=$\sqrt{2}$，此時DE最小．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．