Question

17．如圖，BD是△ABC的平分線，點E、F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求證：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD⊥AC，BC=8，求四邊形ADEF的面積．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結(jié)論；
（2）由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，得到∠ABD=∠EBD=30°，因為BD⊥AC，得到∠C=60°，AD=CD，△ABC是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到AD=CD=$\frac{1}{2}AC$，由EF∥AC，得到BD⊥EF，EG=FG=$\frac{1}{2}$EF=2，求得BG=2$\sqrt{3}$，根據(jù)BD=4$\sqrt{3}$，得到DG=2$\sqrt{3}$，根據(jù)平行四邊形的面積公式 求出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；

（2）解：∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∵BD⊥AC，
∴∠C=60°，AD=CD，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴EF=AD=4，
∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴EG=FG=$\frac{1}{2}$EF=2，∴BG=2$\sqrt{3}$，
∵BD=4$\sqrt{3}$，
∴DG=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形AFED}=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)三線合一時解題的關(guān)鍵．