Question

2．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)
（1）試判斷四邊形AFDE的形狀并加以證明說明；
（2）只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）四邊形AFDE是以AD所在的直線為對稱軸的四邊形，只要證DE=DF，AE=AF即可；
（2）解決此題的關鍵是先假設四邊形EDFA是正方形，根據(jù)其判定即可添加一個條件．

解答 （1）四邊形AFDE是以AD所在的直線為對稱軸的四邊形；
證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵D是BC的中點，
∴DB=DC，
在△DEB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD}\\{∠B=∠C}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF，BE=CF，
∴AE=AF，
∴四邊形AFDE是以AD所在的直線為對稱軸的四邊形．

（2）解：添加∠A=90°．
∵四邊形AFDE是矩形，
又∵DE=DF，
∴四邊形EDFA是正方形．
（方法很多，如∠B=45°或BC=$\sqrt{2}$AB或DE⊥DF或F為AC中點或DF∥AB等）

點評 此題考查了全等三角形的判定和正方形的判定，掌握正方形的判定方法與三角形全等的判定方法解決問題的關鍵．