Question

4．如圖1，△ABC中，AC=8$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，tanB=4，過點A作BC的平行線，與過C且垂直于BC的直線交于點D，一個動點P從B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC方向運動，過點P作PE⊥BC，交折線BA-AD于點E，以PE為斜邊向右作等腰直角三角形PEF，設(shè)點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)點F恰好落在CD上時，求運動時間t的值；
（2）若P與C重合時運動結(jié)束，在整個運動過程中，設(shè)等腰直角三角形PEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，在點P開始運動時，BC上另一點Q同時從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度沿CB方向運動，當(dāng)Q到達B點時停止運動，同時點P也停止運動，過Q作QM⊥BC交射線CA于點M，以QM為斜邊向左作等腰直角三角形QMN，若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一直線上，求此刻t的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點F落在CD上時，如答圖1所示，可知△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，利用幾何圖形性質(zhì)求出t的值；
（2）點P的運動過程，可分為三種情形，分別如答圖2-1，答圖2-2，答圖2-3所示，需要分類討論，分別求解；
（3）點P、Q的運動過程，滿足題意條件的有三種情形，分別如答圖3-1，答圖3-2，答圖3-3所示，需要分類討論，分別求解．

解答 解：（1）由題意可知，△ACD為等腰直角三角形，
∴AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{2}$=8．
如答圖1，過點A作AG⊥BC于點G，則△ACG為等腰直角三角形．
∴AG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×8$\sqrt{2}$=8．
在Rt△ABG中，BG=$\frac{AG}{tanB}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴BC=BG+CG=2+8=10．

當(dāng)點F落在CD上時，可知△DEF、△PCF均為等腰直角三角形，
∴DE=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，PC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF．
∵△PEF為等腰直角三角形，EF=PF，
∴PC=CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴BP=BC-PC=10-4=6．
∴當(dāng)點F恰好落在CD上時，t=6s．

（2）在點P運動過程中：
①當(dāng)0≤t＜2時，如答圖2-1所示．
PE=BP•tanB=4t，
S=$\frac{1}{4}$PE²=$\frac{1}{4}$（4t）²=4t²；

②當(dāng)2≤t＜6時，如答圖2-2所示．
S=$\frac{1}{4}$PE²=$\frac{1}{4}$×8²=16；
③當(dāng)6≤t≤10時，如答圖2-3所示．
設(shè)EF、PF分別與CD交于點K、J，易知△DEK、△PCJ均為等腰直角三角形，
∴DK=CJ=PC=10-t，
KJ=CD-DK-CJ=8-2（10-t）=2t-12，
∴S=$\frac{1}{2}$（KJ+PE）•PC=$\frac{1}{2}$（2t-12+8）（10-t）=-t²+12t-20．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：
S=$\left\{\begin{array}{l}{4{t}^{2}（0≤t＜2）}\\{16（2≤t＜6）}\\{-{t}^{2}+12t-20（6≤t≤10）}\end{array}\right.$．

（3）在點P、Q的運動過程中：
①當(dāng)EF與NQ落在同一直線上時，如答圖3-1所示．
此時，△PEQ為等腰直角三角形，則PQ=PE=4t．
∴BC=BP+PQ+CQ=t+4t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{7}$s；

②當(dāng)PF與MN落在同一直線上時，如答圖3-2所示．
此時，△PQF為等腰直角三角形，則PQ=QF=CQ=2t．
∴BC=BP+PQ+CQ=t+2t+2t=10，
∴t=2s；
③當(dāng)PE與QM落在同一直線上時，如答圖3-3所示．
∴BC=BP+CQ=t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{3}$s．
綜上所述，滿足條件的t的值為：$\frac{10}{7}$或2或$\frac{10}{3}$．

點評 本題是四邊形綜合題，運動型幾何綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，組合圖形的面積，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題關(guān)鍵是深刻理解圖形的運動過程．