Question

13．如圖，直線AB與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，且OA、OB的長(zhǎng)分別為方程x²-6x+8=0的兩個(gè)根（OA＜OB），點(diǎn)C在y軸上，且OA：AC=2：5，直線CD垂直于直線AB于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)D．
（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）請(qǐng)求出直線CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的解法得出0A=2，0B=4，即可得出的A，B的坐標(biāo)；
（2）首先利用角之間的關(guān)系得出△BOA∽△COD，即可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．

解答 解：（1）∵x²-6x+8=0
∴x₁=4，x₂=2
∵0A、0B為方程的兩個(gè)根，且0A＜0B
∴0A=2，0B=4
∴A（0，2），B（-4，0）；

（2）∵0A：AC=2：5，
∴AC=5，
∴OC=OA+AC=2+5=7，
∴C（0，7）．
∵∠BAO=∠CAP，∠CPB=∠BOA=90°，
∴∠PBD=∠OCD．
∵∠BOA=∠COD=90°，
∴△BOA∽△COD，
∴$\frac{BO}{CO}$=$\frac{OA}{OD}$，
∴OD=$\frac{OA•CO}{BO}$=$\frac{2×7}{4}$=$\frac{7}{2}$，
∴D（$\frac{7}{2}$，0）．
設(shè)直線 CD的解析式為y=kx+b，
把x=0，y=7；x=$\frac{7}{2}$，y=0分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=7}\\{\frac{7}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=7}\\{k=-2}\end{array}\right.$，
∴y_CD=-2x+7．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定和一元二次方程的解法等知識(shí)，相似三角形與函數(shù)經(jīng)常綜合出現(xiàn)，同學(xué)們應(yīng)注意靈活應(yīng)用．