Question

5．如果兩個(gè)圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，我們就稱這兩個(gè)圓相交．如圖1已知知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，我們就稱線段AB是⊙O₁和⊙O₂的公共弦．
（1）求證：兩圓圓心的連線O₁O₂垂直平分公共弦AB；
（2）如圖2，⊙P與⊙O相交于點(diǎn)A、B，并且⊙P經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)C是⊙P的優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），弦OC交公共弦AB于點(diǎn)D，連結(jié)CA、CB．
①求證：CO平分∠ACB；
②當(dāng)點(diǎn)C在⊙P上什么位置時(shí)，直線CA與⊙O相切？并說明理由；
③當(dāng)∠ACB等于60°時(shí)，兩圓的半徑有什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出點(diǎn)O₁在線段AB的垂直平分線上，同理：O₂也在線段AB的垂直平分線上，即可得出結(jié)論；
（2）①判斷出$\widehat{OA}=\widehat{OB}$，即可得出結(jié)論；
②延長(zhǎng)與⊙P交于點(diǎn)F．若點(diǎn)C在點(diǎn)F位置時(shí)，直線CA與⊙O相切，然后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠OAF=90°，進(jìn)而得到OA⊥FA，即FA與⊙O相切；
③當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等，作直徑OF，連接BF，AF，OA，然后證明∠AFO=30°，再根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得OA=$\frac{1}{2}$OF，進(jìn)而得到OP=OA．

解答 解：（1）如圖1，
連接O₁A，O₁B，O₂A，O₂B，
∴O₁A=O₁B，
∴點(diǎn)O₁在線段AB的垂直平分線上，
同理：O₂在線段AB的垂直平分線上，
∴O₁O₂是線段AB的垂直平分線，
兩圓圓心的連線O₁O₂垂直平分公共弦AB；
（2）①同（1）的方法得出PO垂直平分AB，
∴$\widehat{OA}=\widehat{OB}$，
∴∠OCA=∠OCB，
∴CO平分∠ACB；

②解：如圖2，延長(zhǎng)與⊙P交于點(diǎn)F．
若點(diǎn)C在點(diǎn)F位置時(shí)，直線CA與⊙O相切，
理由：連接AF，
∵FO是⊙P的直徑，
∴∠FAO=90°，
∴OA⊥FA，
∴FA與⊙O相切，
即點(diǎn)C在點(diǎn)F位置時(shí)，直線CA與⊙O相切．

③如圖3，當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等．理由：
解：作直徑OF，連接BF，AF，OA，
∵∠AFB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴$\widehat{AO}=\widehat{BO}$，
∴∠AFO=∠BEO，
∴∠AFO=30°，
∵OF是直徑，
∴∠FAO=90°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OF，
∴OA=PO，
∴當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，切線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)O₁在線段AB的垂直平分線上，解（2）的關(guān)鍵是判斷出∠FAO=90°，是一道中等難度的中考常考題．