Question

11．如圖1，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬（a）”，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部的線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答問題：
如圖2，頂點(diǎn)為C（1，4）的拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點(diǎn)A（3，0）、交y軸于點(diǎn)B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式．
（2）點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，連接PA、PB．
①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB．
②是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線的頂點(diǎn)和拋物線上的幾點(diǎn)，即可利用待定系數(shù)法求解析式；
（2）①C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
②根據(jù)S_△PAB=S_△CAB即可得到一個關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的方程，即可求出方程根的情況，進(jìn)而得到不存在符合要求的P點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
故y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b，
求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中，
解得：k=-1，b=3，
所以y₂=-x+3；
（2）①∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴當(dāng)x=1時，y₁=4，y₂=2
∴CD=4-2=2，
S_△CAB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
②∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴當(dāng)x=1時，y₁=4，y₂=2，
∴CD=4-2=2，
S_△CAB=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x，
由S_△PAB=S_△CAB，
得：$\frac{1}{2}$×3×（-x²+3x）=3
化簡得：x²-3x+2=0，
∴x=1（舍去）或x=2，
∴點(diǎn)P（2，3）．

點(diǎn)評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．